USP – Álgebra Linear – P2 2019 – Questão 5
Dados os pontos e e os vetores e , com , considere as afirmações abaixo a respeito das retas e
I. As retas e são sempre reversas, para quaisquer valores de e
II. Se é o plano determinado pelo ponto e pela reta , então é ortogonal a se, se somente se,
III. A distância do ponto à reta é igual a
É correto afirmar que
a) I, II e III são verdadeiras
b) Apenas II e III são verdadeiras
c) Apenas I e III são verdadeiras
d) I, II e III são falsas
e) Apenas I e II são verdadeiras
Passo 1
Olááá pessoal! Prontos pra mais uma?
Nessa questão, temos as retas:
Onde é um ponto da reta e o seu vetor diretor
E é um ponto da reta e o vetor é seu vetor diretor
Enfim, aí ele dá 3 afirmações diferentes sobre essas retas, e temos que avalias quais são verdadeiras/falsas, beleza?
Então vamos lá ver as afirmações uma a uma 😊
Passo 2
A primeira afirmação diz que “As retas e são sempre reversas, para quaisquer valores de e ”
Galera, para vermos quando as retas são reversas, vamos fazer o seguinte:
- Encontrar um vetor que ligue um ponto de a um ponto de (por exemplo, o vetor , que liga o ponto a )
- Colocar nas linhas de uma matriz
- Ver quando o determinante da matriz vai ser diferente de . Quando isso acontecer, as retas são reversas.
Então vamos lá. Começando pelo vetor . Sabemos que e
Show! Sabemos também que os vetores diretores das retas são e . Colocando esses vetores em uma matriz:
Para que as retas sejam reversas, o determinante dessa matriz deve ser :
Calculando o determinante:
Opa! Então para que o determinante seja diferente de 0, basta que . Em relação a , ele pode assumir qualquer valor, afinal ele nem aparece no determinante!
Então a afirmação 1 é verdadeira, fechou?
Passo 3
A afirmação 2 diz que “Se é o plano determinado pelo ponto e pela reta , então é ortogonal a se, se somente se, ”
Vamos começar pensando no plano . Ele passa pelo ponto e o vetor é um vetor diretor dele (o mesmo da reta )
Para que o vetor seja ortogonal a , ele deve ser ortogonal ao vetor diretor . Então, o produto escalar de e deve valer , certo?
Então, para que isso aconteça, ou ou . Mas se , o vetor vai ser o vetor nulo, o que não é interessante. Então, para que eles sejam ortogonais, vamos ter que
Logo, a afirmação está errada!
Passo 4
Por fim, a afirmação 3 fala que “A distância do ponto à reta é igual a ”
Ou seja, queremos ver qual a distância entre o ponto e a reta
O primeiro passo para encontrar distância entre ponto e reta é encontrar um ponto genérico da reta. Vamos chamar esse ponto de .
Agora vamos encontrar o vetor :
Legal. O próximo passo é fazer ser ortogonal ao vetor diretor de . Então ele deve ser ortogonal ao vetor . Para isso, o produto escalar entre eles deve ser :
Como nunca é igual a (pois temos uma soma de números positivos), só podemos ter:
Se , o ponto da reta mais próximo do ponto é
Agora é só calcularmos a distância entre e :
Ufa! Então é isso mesmo! A afirmação está correta 😊 Portanto, a alternativa correta é a letra C, beleza?
Resposta
c) Apenas I e III são verdadeiras