Determinar o ângulo formado pela reta

r : y = - 2 x z = 2 x + 1 e ao plano π : x - y + 5 = 0

Passo 1

Primeiro, vamos passar a equação da reta para forma simétrica (para facilitar a visualização)!

Vamos escrever as coordenadas em função de x :

r : y = - 2 x → x = y - 2 z = 2 x + 1 → x = z - 1 2

Assim,

r : x = y - 2 = z - 1 2

Passo 2

Pela teoria sabemos que para encontrar o ângulo entre um plano e uma reta, precisamos do vetor diretor da reta E do vetor normal ao plano. Do passo 1 e do enunciado, tiramos:

r → = 1 ,   - 2 ,   2

n → = ( 1 ,   - 1 ,   0 )

A fórmula é:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → |

Passo 3

Antes de colocar tudo na fórmula, vamos calcular separadamente o módulo do produto escalar e o módulo dos vetores:

r → ∙ n → = 1 ,   - 2 ,   2 ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = | 1 + 2 + 0 | = 3

r → = 1 2 + ( - 2 ) 2 + 2 2 = 9 = 3

n → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 2

Agora que já temos os valores só colocar na fórmula:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → | → sin ⁡ θ = 3 3 × 2

sin ⁡ θ = 1 2

Multiplicando por 2 2

sin ⁡ θ = 2 2

θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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