Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Determinar o ângulo formado pela reta

r : y = - 2 x z = 2 x + 1 e ao plano π : x - y + 5 = 0

Passo 1

Primeiro, vamos passar a equação da reta para forma simétrica (para facilitar a visualização)!

Vamos escrever as coordenadas em função de x :

r : y = - 2 x → x = y - 2 z = 2 x + 1 → x = z - 1 2

Assim,

r : x = y - 2 = z - 1 2

Passo 2

Pela teoria sabemos que para encontrar o ângulo entre um plano e uma reta, precisamos do vetor diretor da reta E do vetor normal ao plano. Do passo 1 e do enunciado, tiramos:

r → = 1 ,   - 2 ,   2

n → = ( 1 ,   - 1 ,   0 )

A fórmula é:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → |

Passo 3

Antes de colocar tudo na fórmula, vamos calcular separadamente o módulo do produto escalar e o módulo dos vetores:

r → ∙ n → = 1 ,   - 2 ,   2 ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = | 1 + 2 + 0 | = 3

r → = 1 2 + ( - 2 ) 2 + 2 2 = 9 = 3

n → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 2

Agora que já temos os valores só colocar na fórmula:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → | → sin ⁡ θ = 3 3 × 2

sin ⁡ θ = 1 2

Multiplicando por 2 2

sin ⁡ θ = 2 2

θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

Exercícios de Livros Relacionados

Renato inventou o seguinte método para calcular a medida angular θ entre uma reta r e um plano π : escolhe um vetor diretor r → da reta, um vetor n → normal ao plano, determina, em seguida, o vetor u
Sejam r → e s → , respectivamente, vetores diretores das retas r e s . Mostre que um plano π forma ângulos congruentes com essas retas se, e somente se, os comprimentos das projeções ortogonais de cad
Sejam P = ( 1 ,2 ,- 1 ) , Q a projeção ortogonal de R = ( - 1 ,- 1 ,- 2 ) sobre π : x + y + z + 1 = 0 e θ a medida angular entre a reta P Q e π . Calcule cos ⁡ θ .
Obtenha a medida angular em radianos entre a reata r e o plano π .e) r : x - 2 z = y + 2 z = 1π : 45 7 x + y + 2 z - 10 = 0
Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r e o plano π .b) r : x = y = z π : z = 0