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Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Exercício 12123456789101113

Enunciado

USP Álgebra Linear 1 P2 2019

Seja b   ∈ R . Se a reta r :   5 x   - y   +   z   = 0   ∩   x   - y   - z   = 4 é paralela ao plano π :   b x   - 6 y   + 4 z   =   5 , então:

  1. b < 2
  2. b > 20
  3. 10 < b < 20
  4. 5 < b < 10
  5. 2 < b < 4

Passo 1

Fala galera, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar alguma informação sobre o valor b , sabendo que a reta r e o plano π são paralelos.

Vamos pensar um pouco, o que podemos inferir do fato que a reta r e o plano π são paralelos?

Bem se a reta r e o plano π são paralelos, então a reta r é perpendicular ao vetor normal ao plano. Então podemos usar esse resultado para obtermos b

Passo 2

Vamos começar pela reta r . Para obtermos o vetor diretor dessa reta, precisamos descobrir quais pontos x , y , z satisfazem o sistema de equações abaixo.

  5 x   - y   +   z   = 0

x   - y   - z   = 4

(usando x como pivô)

(somando as duas equações)

6 x   - 2 y     = 4

⇒ y     =   - 2   +   3 x

(Vamos obter z)

(subtraindo as equações)

4 x   + 2 z     = - 4

⇒ z   =   - 2   -   2 x

Pronto, temos y ,   e   z em função de x . Como construímos nossa reta a partir desses dados?

Vamos lembrar que uma reta é da forma ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )   +   ( a , b , c ) t . Então podemos reescrever as equações que obtemos como:

( x , - 2   + 3 x ,   - 2 - 2 x )   =   ( 0 ,   - 2 ,   - 2 )   +   ( 1 ,   3   ,   - 2 ) t

Passo 3

Agora que temos a reta r , precisamos calcular o vetor normal ao plano π . Como fazemos isso?

Bem, dado um plano π 1 :   a x + b y + c z   =   d qualquer, seu vetor normal será:

( a , b , c )

Então o vetor perpendicular ao nosso plano é:

( b , - 6 ,   4 )

Usando o fato que comentamos no passo 1 que reta r é perpendicular ao vetor normal ao plano. Temos:

< ( b , - 6,4 ) ,   ( 1,3 , - 2 ) >   =   0

⇒   b   - 18   - 8   =   0

⇒   b   =   26

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b)

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