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Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Exercício 10123456789111213

Enunciado

a) Considere a reta r : x - 1 2 = - y = z + 2 e o plano π :   - x + y + 4 = 0 . Determine o ângulo θ entre r e π .

Passo 1

Opaaa... beleza???

Pra gente achar o ângulo θ entre uma RETA e um PLANO a gente já tem uma formulinha pronta:

s e n   θ = r → ⋅ n → r → n →

Onde r → é o vetor diretor de r e n → é o vetor normal ao plano.

Passo 2

Mas como a gente acha o vetor diretor de r ??? Bom... uma dica pra nunca errar é, quando a reta ta representada com esses iguais e tals, a gente coloca na forma paramétrica (que é só igualar a t e depois isolar x, y e z), mas vem comigo:

x - 1 2 = - y = z + 2 = t

Então as equações paramétricas vão ser:

x - 1 2 = t → x = 2 t + 1

- y = t → y = - t

z + 2 = t → z = t - 2

Daí a gente pegar os coeficientes do t e aí temos o vetor diretor da reta:

r → = 2 , - 1,1

Passo 3

E pro vetor normal do plano?? A gente pega os coeficientes de ( x , y   e   z ) da equação e esse vai ser o vertor normal:

n → = - 1,1 , 0

Passo 4

Agora vamos fazer o produto interno entre os dois vetores:

r → ⋅ n → = 2 , - 1,1 ⋅ - 1,1 , 0

r → ⋅ n → = 2 - 1 + - 1 1 + 1 0

r → ⋅ n → = - 2 - 1

r → ⋅ n → = - 3

Calculando o módulo do vetor diretor:

r → = 2 2 + - 1 2 + 1 2

r → = 6

E o módulo do vetor normal:

n → = - 1 2 + 1 2 + 0 2

n → = 2

Agora é só jogar na formula e ser feliz:

s e n   θ = r → ⋅ n → r → n →

s e n   θ = - 3 6 2

s e n   θ = 3 2 3

s e n   θ = 3 2 3 × 3 3

s e n   θ = 3 2

θ = 60 °

Ufaa.. deu um trabalhinho, mas foi... Bora pra próxima questão?

Resposta

θ = 60 °

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