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Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Exercício 1212345678910111314

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 1f

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

f) S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando a esfera, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ∴

z = a 2 - x 2 - y 2

Sendo x e y os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:

ϕ x , y = x ,   y , a 2 - x 2 - y 2  

Passo 3

Já para a região D será utilizada as coordenadas polares.

Dessa forma, será calculada a área apenas na parte superior (onde z > 0 ) seguida da multiplicação do resultado por 2 .

Portanto, como a região D pertence a um cilindro deslocado em x , vemos que, fazendo a relação no sentido anti-horário, - π 2 < θ < π 2 .

Já para r , temos que 0 < r < a cos ⁡ θ .

Passo 4

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d x   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ x = 1,0 , - x a 2 - x 2 - y 2

  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 , - y a 2 - x 2 - y 2

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 - x a 2 - x 2 - y 2 0 1 - y a 2 - x 2 - y 2 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x a 2 - x 2 - y 2 i + y a 2 - x 2 - y 2 j + 1 k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 2 a 2 - x 2 - y 2 + y 2 a 2 - x 2 - y 2 + 1 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 2 + y 2 a 2 - x 2 - y 2 + 1

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ x 2 + y 2 a 2 - x 2 - y 2 + 1 d x   d y

Passo 5

Assim, convertendo para coordenadas polares e colocando na integral dupla da superfície D , temos:

A = 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a cos ⁡ θ r r 2 a 2 - r 2 + 1   d r d θ ∴

A = 2 a 2 π - 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ x , y = x ,   y , a 2 - x 2 - y 2  

A = 2 a 2 π - 2

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