USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 2
Sejam e uma função positiva com derivada contínua. Determine equações paramétricas das superfícies geradas pela rotação da curva em torno do:
eixo
eixo .
Calcule a área da superfície em cada caso.
Passo 1
Faaaala galera, tudo beleza com vocês?
Então, temos aqui uma questão um pouco mais genérica, que nos deu uma curva:
E nos passou duas situações: na primeira essa curva é rotacionada em torno do eixo . Na segunda, essa curva é rotacionada em torno do eixo .
Em cada uma dessas rotações precisaremos determinar uma equação paramétrica para a superfície de revolução, bem como a área da superfície. Beleza?
A ideia principal pra determinar a equação paramétrica é usar a parametrização de superfícies de revolução. Segundo ela:
- Se temos uma rotação em torno do eixo , então temos a parametrização:
- Se a rotação é em torno do eixo , temos:
Tranquilo?
Já pra calcular a área da superfície de revolução, podemos usar uma expressão já conhecida, que revisaremos mais à frente.
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, como aqui nessa questão temos a função:
Para fazer a parametrização, diremos que:
Assim, no caso da rotação em torno do eixo , teremos:
Substituindo, ficamos com:
onde e
Já no caso da rotação em torno do eixo , teremos:
Substituindo por , teremos:
Onde e .
Bom, com isso já encerramos a parte das parametrizações.
Vamos agora para o cálculo da área!
Passo 3
Para calcular a área da superfície de revolução, devemos lembrar da ideia semelhante ao método das cascas.
Quando estamos rotacionando uma curva em torno do eixo , para cada pontinho da curva estamos fazendo uma circunferência de comprimento:
Agora, imagina que cada um desses pontinhos possuem uma pequena espessura, que é dada justamente por:
(lembra que quando vamos calcular o comprimento de uma curva usamos justamente a expressão acima e integramos no domínio da função?)
Então, juntando essas duas coisas, a área de cada um desses elementozinhos (que lembram o formato de uma pizza, ou de um cilindro bem pequeno haha), seria:
Daí, integrando em ambos os lados, ficamos com:
Perfeito! Essa é a área da superfície quando a rotacionamos em torno do eixo .
Já quando rotacionamos em torno do eixo , vai ter uma mudança bem pequena que ocorre no comprimento da circunferência que comentamos antes.
Lembra que antes era dada por:
Pois o raio dessa circunferência era justamente a distância de cada pontinho da curva ao eixo . Como agora queremos a distância de cada pontinho da curva ao eixo , esse comprimento da curva torna-se:
O restante permanece normal. De modo que temos:
Integrando em ambos os lados, vem:
Excelente pessoal! Assim matamos a questão.
Muito obrigado pela atenção de vocês. Até a próxima 😊
Resposta
Em torno do eixo :
Em torno do eixo :