Questão 2) Seja a curva cujas equações paramétricas são
Determine uma parametrização de tal que para todo .
Passo 1
Poxa, eu sei que esse tipo de questão onde queremos trocar a parametrização de uma curva é bem chatinho, mas vamos lá que estou contigo nessa ;)
Vamos pensar um pouco antes de enchermos o papel de conta, ok? Nós temos duas parametrizações para a curva :
E
Bem, nós não conhecemos a segunda parametrização (inclusive é isso que queremos), mas tem uma coisa que sabemos de ambas as parametrizações: o comprimento de ambas até um ponto tem que ser o mesmo! Isso faz sentido se você pensar que a curva é a mesma
Aí, você poderia me dizer: “Ok! Mas o que tem a ver isso com o problema?”. Veja bem, qual a definição de comprimento e curva mesmo?
Viu só? Assim conseguimos relacionar os módulos das parametrizações ! Calculando as duas vamos descobrir essa parametrização. Bora?
Passo 2
Se falarmos que varia de até um qualquer, o a gente consegue calcular o comprimento da curva com a primeira integral ali de cima:
Veja que temos que encontrar o módulo da derivada de
Para o módulo...
Como ...
Assim, voltando para a integral, podemos falar que o comprimento até é...
Passo 3
Bem, tomando um tal que o comprimento da curva seja a mesma da anterior, podemos calcular o comprimento com a segunda integral lá do passo 1...
Como pelo próprio enunciando a o módulo dessa parametrização nova é sempre ...
Olha que beleza ! Como associamos ao mesmo comprimento, podemos falar que...
Passo 4
Bem, a gente já tem em função de , que tal invertermos para jogar na equação da curva em ?
Passo 5
Agora vamos pensar mais um pouco: e , estão associados a um ponto que possui o mesmo comprimento de arco. Como o ponto é comum, nada mais justo que substituirmos a expressão de ali na parametrização da curva em função de
Como quando escolhemos o escolhemos um ponto qualquer e o está associado a esse ponto, isso torna também um ponto qualquer que podemos simplesmente chamar de ...
E essa é a parametrização pedida, que satisfaz a curva (veio da expressão de ). Além disso, ela satisfaz a condição de , pois assumimos isso lá no passo !!!