Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Enunciado

Questão 2) Seja C a curva cujas equações paramétricas são

x t = e - t cos ⁡ t ,           y t = e - t sin ⁡ t ,           t ≥ 0

Determine uma parametrização r → u de C tal que r → u = 1 para todo u ∈ D o m ( r → ) .

Passo 1

Poxa, eu sei que esse tipo de questão onde queremos trocar a parametrização de uma curva é bem chatinho, mas vamos lá que estou contigo nessa ;)

Vamos pensar um pouco antes de enchermos o papel de conta, ok? Nós temos duas parametrizações para a curva C :

r → t = e - t cos ⁡ t ,   e - t sin ⁡ t ,         t ≥ 0

E

r → u =   ?

Bem, nós não conhecemos a segunda parametrização (inclusive é isso que queremos), mas tem uma coisa que sabemos de ambas as parametrizações: o comprimento de ambas até um ponto tem que ser o mesmo! Isso faz sentido se você pensar que a curva é a mesma

Aí, você poderia me dizer: “Ok! Mas o que tem a ver isso com o problema?”. Veja bem, qual a definição de comprimento e curva mesmo?

C o m p r i m e n t o   S =   ∫ C   r → ' t d t = ∫ C   r → ' u d u

Viu só? Assim conseguimos relacionar os módulos das parametrizações ! Calculando as duas vamos descobrir essa parametrização. Bora?

Passo 2

Se falarmos que t varia de 0 até um t 0 qualquer, o a gente consegue calcular o comprimento da curva com a primeira integral ali de cima:

∫ C   r → ' t d t = ∫ 0 t 0 r → ' t d t

Veja que temos que encontrar o módulo da derivada de

r → t = e - t cos ⁡ t ,   e - t sin ⁡ t       →

r → ' t = - e - t cos ⁡ t - e - t sin ⁡ t , -   e - t sin ⁡ t +   e - t cos ⁡ t

Para o módulo...

r → ' t = - e - t cos ⁡ t - e - t sin ⁡ t 2 + -   e - t sin ⁡ t +   e - t cos ⁡ t 2   →

r → ' t = e - 2 t cos 2 ⁡ t + 2 e - t cos ⁡ t ⋅ e - t sin ⁡ t + e - 2 t sin 2 ⁡ t + e - 2 t cos 2 ⁡ t - 2 e - t cos ⁡ t ⋅ e - t sin ⁡ t + e - 2 t sin 2 ⁡ t   →

r → ' t = 2 e - 2 t cos 2 ⁡ t + 2 e - 2 t sin 2 ⁡ t   →

r → ' t = 2 e - 2 t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t   →

Como cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ...

r → ' t = 2 e - 2 t   →

r → ' t = 2 e - t

Assim, voltando para a integral, podemos falar que o comprimento até t 0 é...

∫ 0 t 0 r → ' t d t = ∫ 0 t 0 2 e - t   d t = 2 - e - t       0 t 0 =

2 1 - e - t 0

Passo 3

Bem, tomando um u 0 tal que o comprimento da curva seja a mesma da anterior, podemos calcular o comprimento com a segunda integral lá do passo 1...

∫ C   r → ' u d u = ∫ 0 u 0 r → ' u d u =

Como pelo próprio enunciando a o módulo dessa parametrização nova é sempre 1 ...

∫ 0 u 0 1   d u = u       0 u 0 =

u 0

Olha que beleza ! Como associamos ao mesmo comprimento, podemos falar que...

u 0 = 2 1 - e - t 0

Passo 4

Bem, a gente já tem u 0 em função de t 0 , que tal invertermos para jogar na equação da curva em t ?

u 0 = 2 1 - e - t 0               →                 1 - e - t 0 = u 0 2       →

- e - t 0 = - 1 + u 0 2   →

e - t 0 = 1 - u 0 2   →         A p l i c a n d o ln ⁡   a o s   l a d o s …                         ln ⁡ e - t 0 = ln ⁡ 1 - u 0 2     →

- t 0 = ln ⁡ 1 - u 0 2     →

t 0 = - ln ⁡ 1 - u 0 2

Passo 5

Agora vamos pensar mais um pouco: t 0 e u 0 , estão associados a um ponto que possui o mesmo comprimento de arco. Como o ponto é comum, nada mais justo que substituirmos a expressão de t 0 ali na parametrização da curva em função de t 0

r → t 0 = e - t 0 cos ⁡ t 0 ,   e - t 0 sin ⁡ t 0     →

r → t 0 u 0 = e ln ⁡ 1 - u 0 2 cos ⁡ - ln ⁡ 1 - u 0 2 ,   e ln ⁡ 1 - u 0 2 sin ⁡ ln ⁡ 1 - u 0 2     →

r → u 0 = 1 - u 0 2 cos ⁡ - ln ⁡ 1 - u 0 2 ,   1 - u 0 2 sin ⁡ ln ⁡ 1 - u 0 2      

Como quando escolhemos o t 0 escolhemos um ponto qualquer e o u 0 está associado a esse ponto, isso torna u 0 também um ponto qualquer que podemos simplesmente chamar de u ...

r → u = 1 - u 2 cos ⁡ - ln ⁡ 1 - u 2 ,   1 - u 2 sin ⁡ ln ⁡ 1 - u 2

E essa é a parametrização pedida, que satisfaz a curva (veio da expressão de r → t ). Além disso, ela satisfaz a condição de r → ' u = 1 , pois assumimos isso lá no passo 3 !!!

Resposta

r → u = 1 - u 2 cos ⁡ - ln ⁡ 1 - u 2 ,   1 - u 2 sin ⁡ ln ⁡ 1 - u 2

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