Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

e) S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde a > 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde a > 0 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando o paraboloide hiperbólico, temos:

x 2 + z 2 = a 2

Escolhendo a representação em coordenadas cilíndricas como parâmetros, temos:

ϕ θ , y = a cos ⁡ θ ,   y , a   s e n   θ    

Passo 3

Como a superfície é parte de um cilindro simétrico em relação ao plano x y , será calculada a área na parte superior e em seguida será multiplicado por 2 para obter a área total.

Sendo assim, tem-se para a região D o limite 0 < θ < π para o ângulo e o seguinte limite para y , dada pela substituição mostrada:

x 2 + z 2 = a 2 x 2 + y 2 = a 2 ∴

y 2 = a 2 - x 2 ∴

y 2 = z 2 ∴

y = a   s e n   θ ∴

- a   s e n   θ < y < a   s e n   θ

Passo 4

Dessa forma, sabemos que:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y d θ   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ θ = - a   s e n   θ , 0 , a cos ⁡ θ
  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 , 0

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = i j k - a   s e n   θ 0 a cos ⁡ θ 0 1 2 y ∴

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = - a cos ⁡ θ i - a cos ⁡ θ   k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = - a cos ⁡ θ 2 + - a cos ⁡ θ 2 ∴

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ y = a

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ 14 d θ   d y

Passo 5

Já para a região, temos que 0 < θ < π e - a   s e n   θ < y < a   s e n   θ em coordenadas polares. Portanto, temos:

A = 2 ∫ 0 π ∫ - a   s e n �� θ a   s e n   θ a d y d θ ∴

A = 8 a 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ θ , y = a cos ⁡ θ ,   y , a   s e n   θ    

A = 8 a 2

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