USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 1e
Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:
e) é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de em que é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde .
A questão também nos pede para calcular a sua área.
Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?
Não entendeu? Então bora junto 😉
Passo 2
Bom... parametrizando o paraboloide hiperbólico, temos:
Escolhendo a representação em coordenadas cilíndricas como parâmetros, temos:
Passo 3
Como a superfície é parte de um cilindro simétrico em relação ao plano , será calculada a área na parte superior e em seguida será multiplicado por para obter a área total.
Sendo assim, tem-se para a região o limite para o ângulo e o seguinte limite para , dada pela substituição mostrada:
Passo 4
Dessa forma, sabemos que:
Dessa forma, fazemos:
Portanto, temos:
Assim, temos:
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Já para a região, temos que e em coordenadas polares. Portanto, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
