Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

Ver Teoria
Exercício 1412345678910111213

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 1h

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

h) S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com z ≥ x 2 + y 2 3 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com z ≥ x 2 + y 2 3 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando a esfera usando coordenadas esféricas, temos:

ϕ x , y = 2 cos ⁡ θ s e n   ω ,   2 sen ⁡ θ s e n   ω , 2 cos ⁡ ω  

Passo 3

Já para a região D , percebe-se que será realizada uma volta completa em torno do ângulo θ devido a interseção entre a superfície e a esfera.

Já para os limites de ω , temos:

z = x 2 + y 2 3 ∴ 3 z = x 2 + y 2 ∴ 9 z 2 = x 2 + y 2

Lembrando que:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Logo, substituindo, temos:

9 z 2 = 4 - z 2 ∴

z = 4 10 ∴

2 cos ⁡ ω = 4 10 ∴

ω = 1,25   r a d

Portanto, 0 < ω < 1,25 .

Passo 4

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ ω × ∂ ϕ ∂ θ d ω   d θ

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ ω = 2 cos ⁡ θ cos ⁡   ω ,   2 sen ⁡ θ cos ⁡   ω , -   2 sen ⁡ θ

  • ∂ ϕ ∂ θ = -   2 sen ⁡ θ s e n   ω , 2 cos ⁡ θ s e n   ω , 0

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ ω × ∂ ϕ ∂ θ = i j k 2 cos ⁡ θ cos ⁡   ω 2 sen ⁡ θ cos ⁡   ω -   2 sen ⁡ θ -   2 sen ⁡ θ s e n   ω 2 cos ⁡ θ s e n   ω 0 ∴

∂ ϕ ∂ ω × ∂ ϕ ∂ θ = 4   s e n 2 ω cos ⁡ θ i + 4   s e n 2 ω sen ⁡ θ j + 4   s e n   ω cos ⁡ θ k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ ω × ∂ ϕ ∂ θ = 4   s e n 2 ω cos ⁡ θ 2 + 4   s e n 2 ω sen ⁡ θ 2 + 4   s e n   ω cos ⁡ θ 2 ∴

∂ ϕ ∂ ω × ∂ ϕ ∂ θ = 4   s e n   ω

Substituindo na integral, temos:

A = ∬ 4   s e n   ω d ω   d θ

Passo 5

Assim, convertendo para coordenadas polares e colocando na integral dupla da superfície D , temos:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1,25 4   s e n   ω   d ω d θ ∴

A = 4 π 2 - 2 10

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ x , y = 2 cos ⁡ θ s e n   ω ,   2 sen ⁡ θ s e n   ω , 2 cos ⁡ ω  

A = 4 π 2 - 2 10

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre o volume do sólido resultante.(b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor, encontre o volume resultante.
Encontre a área da região delimitada pela hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e pela reta vertical passando por um foco.
Encontre a área da região dentro de um laco, onde r = s e n 2 θ .
Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas e está no setor especificado: r = s e n ( θ ) ,π / 3 ≤ θ ≤ 2 π / 3
Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e nθ ,r = cos ⁡ θ