Exercícios Resolvidos de Área de Curvas Parametrizadas

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

i) S é a parte do paraboloide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos uma representação paramétrica de S em que S é a parte do paraboloide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 .

A questão também nos pede para calcular a sua área.

Para podermos resolver isso, primeiramente temos que parametrizar a superfície para a qual estamos trabalhando para prosseguir com os próximos passos que vamos ver juntos, belezinha?

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... parametrizando o paraboloide, temos:

z = 1 - 2 x 2 - y 2

Sendo x e y os parâmetros, temos a representação paramétrica da superfície:

ϕ x , y = x ,   y , 1 - 2 x 2 - y 2    

Passo 3

Já para a área A , devemos fazer:

A = ∬ ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d x   d y

Dessa forma, fazemos:

  • ∂ ϕ ∂ x = 1,0 , - 4 x
  • ∂ ϕ ∂ y = 0,1 - 2 y

Portanto, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 - 4 x 0 1 - 2 y ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 4 x i - 2 y j + 1 k

Assim, temos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 4 x 2 + - 2 y 2 + 1 2 ∴

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 16 x 2 + 4 x 2 + 4 y 2

Substituindo na integral da superfície D , temos:

A = ∬ 16 x 2 + 4 x 2 + 4 y 2 d x   d y

Passo 4

Em seguida, para determinar os limites da região D , percebe-se que o paraboloide é delimitado pela elipse 16 x 2 + 4 y 2 = 1 .

Assim, utilizando coordenadas elípticas, temos:

x = 1 4 r cos ⁡ θ

y = 1 2 r   s e n   θ

d x d y = 1 4 * 1 2 * r   d r   d θ

A partir disso, percebemos que 0 < θ < 2 π e 0 < r < 1 .

Passo 5

Dessa forma, substituindo na integral, temos:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 16 1 4 r cos ⁡ θ 2 + 4 1 2 r   s e n   θ 2 + 1 1 4 * 1 2 * r   d r   d θ ∴

A = π 12 2 2 - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ϕ x , y = x ,   y , 1 - 2 x 2 - y 2    

A = π 12 2 2 - 1

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