UFPE – Introdução à combinatória – Avaliação 1 – Questão 1g
Quantos anagramas podemos fazer com as letras de PERNAMBUCO se desejamos não ter vogais vizinhas?
Passo 1
Oi, tudo bem?
Para começar precisamos saber quantas vogais e quando consoantes temos em PERNAMBUCO:
Então se queremos ter anagramas sem ter vogais vizinhas, estamos falando do Primeiro Lema de Kaplansky!
O primeiro lema nos diz o seguinte: o número de subconjuntos com elementos de nos quais não há números consecutivos é:
Temos 10 letras no total, sendo que 4 delas não podem ser vizinhas (ou consecutivas), então a escolha das posições das vogais pelo primeiro lema é:
Esse é o número de permutações em que não temos vogais vizinhas!
Agora precisamos permutar o restante! (é um anagrama, no fim das contas!)
Certo?
Passo 2
Então com o passo anterior, garantimos que não teremos vogais vizinhas! E agora? Agora precisamos permutar as outras coisas!
A permutação de 6 consoantes:
E a permutação de 4 vogais:
Passo 3
O passo final é multiplicar tudo:
Belezinha?
Vamos pra próxima?