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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Permutação

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Enunciado

USP probabilidade P1 2017

Uma urna contém todos os possíveis bilhetes de 5   dígitos, numerados apenas empregando os dígitos 1,2 , 3   . Qual é a probabilidade de se retirar um bilhete que contenha cada um dos dígitos 1 , 2,3 , pelo menos uma vez?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez envolvendo análise combinatória.

Nós queremos calcular a probabilidade de retirar um bilhete contendo pelo menos um de cada dígito 1,2 , 3 .

Passo 2

Vamos nessa pessoa, nessa questão precisamos contar quantos bilhetes possuem os 1 , 2,3   pelo menos uma vez. Mas ao invés de computar esse valor vamos calcular seu complementar que seria os bilhetes que pelo menos um dos números 1 , 2,3   não aparece.

Suponha, poe exemplo que não aparece o número 1   . Então temos as possíveis sequências para os bilhetes:

  1. 2   2   2   2   2  
  2. 2   2   2   2   3  
  3. 2   2   2   3   3  
  4. 2   2   3   3   3  
  5. 2   3   3   3   3  
  6. 3   3   3   3   3  

Usando permutações com repetição temos:

#Não ter o 1 =   # i   +   # i i   +   # i i i   +   # i v   +   # v   +   # v i     =   1   +   5 ! 4 !   +   5 ! 2 ! 3 !   +   5 ! 3 ! 2 !   +   5 ! 4 !   +   1

Logo por simetria #(sem 1) = #(sem 2) = #(sem 3)

Com isso: P n ã o   a p a r e c e r   1 , 2,3   p e l o   m e n o s   u m a   v e z   =   3 ⋅ P s e m   1   =   3 ⋅ 32 3 5

Passo 3

Agora que temos a probabilidade do conjunto complementar, podemos calcular a do conjunto que temos interesse. Isto é:

P 1,2 , 3   p e l o   m e n o s   u m a   v e z   =   1 -   P n ã o   a p a r e c e r   1,2 , 3   p e l o   m e n o s   u m a   v e z

=   1 -   3 ⋅ 32 3 5

Resposta

=   1 -   3 ⋅ 32 3 5

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