1. Usando apenas os axiomas de Kolmogorov, mostre que: P ( A △ B )   =   P ( A )   +   P ( B )   -   2 P ( A   ∩   B ) , cuja constatação é trivial usando o diagrama de Venn. Dica: partindo de ( A   ∩   B )   ∩   ( B   -   A )   =   ∅ , mostre inicialmente que P ( B   -   A )   =   P ( B )   -   P ( A   ∩   B ) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para provar a seguinte expressão:

P ( A △ B )   =   P ( A )   +   P ( B )   -   2 P ( A   ∩   B )

Obs: Devemos utilizar apenas os axiomas de Kolmogorov para provar essa expressão.

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... pode definição, sabe-se que A Δ B representa todos os conjuntos de números que estão em A ou em B , mas não nos dois simultaneamente.

Nesse sentido, pode-se visualizar essa relação da seguinte forma:

P A Δ B = P A ∪ B - P A ∩ B

Passo 3

No entanto, por definição, sabe-se que P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B .

Assim, substituindo essa relação na expressão do Passo 2, resulta:

P A Δ B = P A + P B - P A ∩ B - P A ∩ B ∴

P A Δ B = P A + P B - 2 P A ∩ B ,   q . e . d .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

b) No texto

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Permutação

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