Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Calcule a área da região D delimitada pela lemniscata r 2 = s e n 2 θ ,   mostrada na figura abaixo.

Passo 1

Para encontrar a área dessa região faremos:

∬ D d A

Onde D   é justament a região descrita no enunciado. Olhando a imagem conseguimos notar que a região esta apena no primeiro quadrante, então temos a variação de θ   d e   0   a π 2 . Já para análise da variação do r, simplesmente isolamos ele na função.

r 2 = s e n 2 θ

0 ≤ r ≤ s e n 2 θ  

Passo 2

Montando então a integral ficamos com:

∬ D d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 s e n 2 θ r   d r   d θ

= ∫ 0 π 2 r 2 2 | s e n 2 θ 0 d θ  

= ∫ 0 π 2 s e n 2 π 2 d θ

= 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 | π 2 0

= 1 2

Resposta

1 2

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