Seja o conjunto limitado pela curva plana com parametrização dada por :

(veja figura 1). Determine a área de .

Vamos usar coordenadaspolares por causa dessess senos e cossenos, ok?

Vamos pensar um pouquinho, as coordenadas polares nos dão que:

Portanto, a parametrização de uma curva em coordenadas polares seria dada por:

Onde é constante ou função de , isso porque, como sabemos, uma curva deve ter um parâmetro! Então, na verdade é isso aqui:

Comparando com a curva do problema

Nós tiramos que

Onde . Percebeu?

Então, se a curva é dada, em coordenadas polares, por essa equação; Como podemos dizer que, para a área , varia desde a origem até a curva, temos:

Com

O que nós acabamos de fazer foi descrever em coordenadas polares.

Agora vamos fazer a mudança polar na integral:

Não se esqueça desse do Jacobiano!

Agora vamos integrar isso ái

Agora precisamos usar essa relação:

Aplicando ao nosso problema, temos: