Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

Utilizando integral dupla em sistemas de coordenadas polares, determinar a área da região delimitada pela curva com equação:

x 2 + y 2 + 3 x x 2 + y 2 = 4 x 3

Dica: cos ⁡ 3 t = 4 cos 3 ⁡ t - 3 cos ⁡ t

Passo 1

Na hora da prova é bem difícil ter tempo de esboçar essa superfície bizarra aí né? Vamos tentar entender como fazer isso sem esboço, beleza?

O enunciado fala pra gente usar coordenadas polares, vamos jogar isso ali e ver o que sai! As coordenadas são essas aqui

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

x 2 + y 2 ⏟ r 2 + 3 x x 2 + y 2 ⏟ r 2 = 4 x 3

r 2 + 3 r cos ⁡ θ r 2 = 4 r 3 cos 3 ⁡ θ

Dividindo por r 2 nos dois lados

r 4 + 3 r 3 cos ⁡ θ = 4 r 3 cos 3 ⁡ θ

r 4 + 3 r 3 cos ⁡ θ - 4 r 3 cos 3 ⁡ θ = 0

r 3 r + 3 cos ⁡ θ - 4 cos 3 ⁡ θ = 0

Usando a substituição do enunciado:

r - cos ⁡ 3 θ = 0

r = cos ⁡ 3 θ

Logo, sabemos que

0 ≤ r ≤ cos ⁡ 3 θ

Passo 2

Como nossa região não tem nenhuma restrição de x ou y positivos, temos que percorrer θ de algum intervalo de 2 π para pegar o R 2 todo.

Do limite de r , temos que:

0 ≤ r ≤ cos ⁡ 3 θ

Sabendo disso, temos que

cos ⁡ 3 θ ≥ 0

Então o gráfico disso vai ser igual ao do cosseno, só que com período 2 π 3 . Assim:

Então, dentro de um intervalo de 2 π , temos que cos ⁡ 3 θ vai ser maior que 0 para os seguintes intervalos:

- π 6 ≤ θ ≤ π 6

π 2 ≤ θ ≤ 5 π 6

7 π 6 ≤ θ ≤ 3 π 2

Viu! Conseguimos todos os limites sem o esboço dessa região maluca. Se você realmente ficou curioso, o esboço feito no computador é esse aqui

Mas realmente não precisamos perder muito tempo nisso na hora da prova, às vezes nem precisamos do esboço =D

Passo 3

Bom, agora que definimos a região em coordenadas polares, calcular a área é calcular a integral dupla, certo?

A = ∬ D 1 d A

Não se esqueça do jacobiano, beleza?

A = ∫ - π 6 π / 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r d r d θ + ∫ π 2 5 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r d r d θ + ∫ 7 π 6 3 π 2 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r d r d θ

Passo 4

As três integrais em r são idênticas, logo

∫ 0 cos ⁡ 3 θ r d r = r 2 2 0 cos ⁡ 3 θ = 1 2 cos 2 ⁡ 3 θ

Pra integrar isso aí em relação a θ , vamos lembrar da relação que diz

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Logo

cos 2 ⁡ 3 θ = 1 + cos ⁡ 6 θ 2

1 2 cos 2 ⁡ 3 θ = 1 + cos ⁡ 6 θ 4

Vamos fazer as três separadamente

∫ - π 6 π 6 1 + cos ⁡ 6 θ 4 d θ = 1 4 θ + sen ⁡ 6 θ 6 - π 6 π 6

= 1 4 π 6 - - π 6 = π 12

A segunda integral fica

∫ π 2 5 π 6 1 + cos ⁡ 6 θ 4 d θ = 1 4 θ + sen ⁡ 6 θ 6 π 2 5 π 6

= 1 4 5 π 6 - π 2 = π 12

A terceira e última fica

∫ 7 π 6 3 π 2 1 + cos ⁡ 6 θ 4 d θ = 1 4 θ + sen ⁡ 6 θ 6 7 π 6 3 π 2

= 1 4 3 π 2 - 7 π 6 = π 12

Somando tudo

π 12 + π 12 + π 12 =

= π 4

Resposta

π 4

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