UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 6e
Calcule as integrais para as regiões indicadas:
e)
é limitada pelo círculo de centro na origem e raio .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla para região :
Onde é limitada pelo círculo de centro na origem e raio .
Perceba que como a região é um círculo com raio , podemos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Para coordenadas polares, temos e , onde varia de a , e varia de a .
Dessa forma, temos a nossa integral dupla:
Eaí? Bora lá resolver?
😉
Passo 2
Bom... Integrando primeiro em relação a ,vamos pegar essa integral:
Agora, integrando em relação a :
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
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Cardioide no primeiro quadrante: Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela cardioide r=1+s e n ( θ ) .
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2 2 - s e n 2 θ 1 2 .
Uma pétala de rosa: Encontre a área delimitada por uma pétala da rosa r=12c o s( 3 θ ) .
Concha de caracol: Encontre a área da região delimitada pelo eixo x positivo e a espiral r= 4 θ 3 ,0≤ θ≤2 π . A região se assemelha a uma concha de caracol.
Encontre a área da região comum aos interiores das cardioides r=1+c o s ( θ ) er=1–c o s ( θ ) .