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Exercícios Resolvidos de Curvas Polares

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Enunciado

UFAM– Cálculo 2 – PF – Questão 2b

Determine a área da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

Vamos, antes de tudo, desenhar essa superfície para termos uma ideia melhor do problema. Temos um cilindro de raio 1 centrado na origem, que corta a superfície z = x y . Mas que superfície é essa? Você não precisa disso para resolver a questão, mas só para você poder visualizar, é uma cela “girada” no plano x y (ou seja, que não tem simetria nos eixos x e y , mas em eixos oblíquos a eles):

Como o problema pede a parte da superfície que estã dentro do cilindro, queremos isso aqui:

Vamos usar essa fórmula aqui para calcular a área da superfície:

A S = ∬ D   ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v d u d v

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Agora precisamos parametrizar a superfície. Como nossa equação é z = x y , vamos usar x e y como parâmetros, ok? Temos então:

φ x ,   y = ( x , y , x y )

Onde

x 2 + y 2 ≤ 1

Essa é a projeção da nossa superfície no plano x y , um círculo, pois a superfície azul é cortada pelo cilindro, lembra? Então, vista de cima, ela é um círculo.

Beleza?

Passo 3

Nossa missão é encontrar aquele integrando!

∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v

No nosso caso u = x ,   v = y , ok? Temos que φ x ,   y = ( x , y , x y )

Vamos calcular ∂ φ ∂ x e ∂ φ ∂ y

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , y )

∂ φ ∂ y = ( 0,1 , x )

Tudo bem até aqui?

Precisamos ainda calcular N → x ,   y :

N → x , y = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

Substituindo temos

N → x , y = 1,0 , y × 0,1 , x

Agora é só fazer o produto vetorial:

N → x , y = i j k 1 0 y 0 1 x

N → x , y = ( - y ,   - x , 1 )

N → x , y = x 2 + y 2 + 1

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora vamos montar a integral:

A S = ∬ D   ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v d u d v

A S = ∬ D   x 2 + y 2 + 1 d x d y

Onde D é o limite da superfíce azul, que já vimos que é dado por

x 2 + y 2 = 1

Passo 5

Agora isso aí virou questão de integral dupla, né? Precisamos escrever matematicamente essa região para levar os intervalos para integral.

Olha quantos quadrados nós temos.

Nossa região de integração ainda é um círculo. Já sacou que temos que usar coordenadas polares, né? Temos então:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

A região de integração passa a ser então 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Substituindo na integral, temos:

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 + 1   d θ d r =

= ∫ 0 1 ∫ 0 π 2 r r 2 + 1   d θ d r

Agora é #partiu resolver!

Passo 6

Agora vamos resolver a integral. Integrando em relação a θ :

= ∫ 0 1 θ r r 2 + 1 0 2 π   d r =

= 2 π ∫ 0 1 r r 2 + 1   d r =

Agora, para resolver essa integral, podemos fazer a substituição:

r 2 + 1 = u

2 r   d r = d u

Em resumo, chama tudo o que está dentro da raiz de u . Temos então

r = 1         →         u = 2

r = 0         →         u = 1

Levando isso para a integral, temos:

= π ∫ 1 2 u   d u =

Agora podemos integrar:

= 2 π 3   u 3 / 2 1 2 =

= 2 π 3 8 - 1 =

2 π 3 2 2 - 1

E é isso! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

2 π 3 2 2 - 1

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