UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 11a
Calcule:
a) , onde é a região acima do eixo e dentro da circunferência .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região . E a região é a área acima do eixo e dentro da circunferência de raio , centrada na origem, . Ou seja:
Como a gente tem essa geometria circular, fica mais fácil calcular nossa integral usando as coordenas polares, que são convertidas de acordo com as equações:
Assim, a gente percebe que nossa região tem um ângulo de variação , no intervalo . E o nosso raio varia desde a origem até a borda da circunferência, ou seja, . Então, vamos fazer essas substituições na nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
Substituindo os intervalos de integração e as equações de transformação que vimos no passo , temos:
Passo 3
Pra calcular essa integral, vamos fazer:
Substituindo na integral:
Integrando primeiro em relação a :
Aplicando os intervalos de integração em :
Agora integrando em relação a :
E aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉