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Exercícios Resolvidos de Densidade

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Enunciado

Física Termodinâmica e Ondas – Young e Freedman – 12 edição – Capítulo 14 – Problema 55.

(Cap 14 – Prob. 55) A Terra não possui uma densidade uniforme; ela é mais densa em seu centro e menos densa na superfície. Uma expressão aproximada para sua densidade é ρ r = A - B r , onde A = 12700   k h / m 3 e B = 1,50 × 10 - 3   k g / m 4 . Considere a Terra uma esfera de raio R = 6,37 × 10 6   m . (a) Evidencias geológicas indicam que as densidade são de 13100   k g / m 3 no centro e de 2400   k g 1 m 3 na superfície. Quais sõ os valores obtidos para a densidade nesses dois pontos com o nosso modelo de aproximação? (b) Imagine a Terra dividida em camadas esféricas concentrias. Cada camada possui raio r, espessura dr, volume d V = 4 π r 2 d r e massa d m = ρ r d V . Integrando desde r=0 até r=R, mostre que a massa da Terra com esse modelo é dada por M = 4 3 π R 3 A - 3 4 B R . (c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de 0,4 % . (d) Vimos na Seção 12.6 que uma casca esférica uniforme não contribui para g em seu interior. Mostre que, neste modelo, g r = 3 4 π G r A - 3 4 B r no interior da Terra. E) Mostre que a expressão obtida no item (d) fornece g=0 no centro da Terra e g=9,85 m / s 2 na superfície da Terra. f) Mostre que, nesse modelo, g não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrario, atinge um valor máximo igual a 4 π G A 2 / 9 B = 10,01   m / s 2 no ponto r = 2 A / 3 B = 5640   k m .

Passo 1

Falaiiii galerinha do Responde ai, tudo certinho?

Bora pra mais uma?

Siga o procedimento descrito na parte (b). Para um objeto esférico simétrico, com massa total me raio r, em pontos na superfície do objeto,

g   r = G m r 2

A terra tem massa m T = 5,97 × 10 24   k g . Se g (r) é o máximo em r = r m a x , então

d g d r = 0

Para r = r m a x .

Passo 2

  1. Em r = 0 , o modelo prevê

    2. ρ = A = 12.700   k g / m 3

    e em r = R , o modelo prediz

    ρ = A - B R = 12.700 k g m 3 - 1,50 × 10 - 3 k g m 4 6,37 × 106   m

    = 3,15 × 10 3   k g / m 3

    Passo 3

  2. Integrando com os limites de r = 0   e   r = R , temos

    3. M = ∫ d m = 4 π ∫ 0 R A - B r r 2 d r = 4 π A R 3 3 - B R 4 3

    = 4 π R 3 3 A - 3 B R 4    

    Passo 4

  3. Com os valores dados de A, B e R, o valor de M será de

    4. M = 4 π 6,37 × 10 6 m 3 3 12,700 k g m 3 - 3 1,50 × 10 - 3 k g m 4 6,37 × 10 6 m 4

    = 5,99 × 10 24 k g

    A massa da terra que está dentro de 0,36% da massa da Terra.

    Passo 4

  4. Se m   ( r ) for usado para denotar a massa contida em uma esfera de raio   r , então g   =   G m   ( r ) / r 2 . Usando o mesmo integração como a da parte (b), com um limite superior de r em vez de R , dá o resultado.

    5. g ( r ) = 4 3 π G R A - 3 B R 4    

    Passo 5

  5. g = 0 em r = 0

    E

    g   em r = R

    g = G m R R 2

    = 6.673 × 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2   5.99 × 10 24   k g 6.37 × 106   m 2

      =   9.85   m / s 2 .

    Passo 5

  6. Mostrando que esse modelo diminui

d g d r = 4 π G 3 d d r A r - 3 B r 2

Definir este valor como zero dá r = 2 A / 3 B = 5,64 × 10 6   m , e neste raio

g = 4 π G 3 2 A 3 B A - 3 4 B 2 A 3 B

= 4 π G A 2 9 B

g = 4 π 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 12,700 k g m 3 2 9 1,50 × 10 - 3 k g m 4

= 10,02 m / s 2

Resposta

  1. 12,700   k g / m 3 , 3.15 × 10 3 k g / m 3
  2. 4 π R 3 3 A - 3 B R 4    
  3. A massa da terra que está dentro de 0,36% da massa da Terra.
  4. g r = 4 3 π G R A - 3 B R 4    
  5.   9.85 m s 2 .
  6. 10,02 m / s 2

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