Um peixe se mantém na mesma profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, um peixe tem uma massa específica de . Para que fração de seu volume expandido o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água?
Passo 1
Para resolver esse problema a gente tem que entender que ao inflar as bolsas de ar a massa específica do peixe diminui. O problema quer saber quanto de ar o peixe precisa para diminuir sua densidade de até (que é a densidade da água doce, esse valor a gente tem que saber de cabeça beleza?).
Perceba que ter a mesma densidade da água significa que o peixe não flutua nem afunda, exatamente o que queremos!
Passo 2
O peixe tem uma densidade quando suas bolsas de ar estão vazias e seu volume é , nessa situação. Ou seja:
Quando ele enche suas bolsas de ar, temos que sua densidade agora é igual a da água () para não boiar nem afundar.
Além disso, seu novo volume passa a ser o volume antigo, , somado ao volume adicionado às suas bolsas de ar, :
Com isso, podemos escrever a densidade do peixe já inflado:
Passo 3
O problema quer saber a relação entre o volume que o peixe se inflou e o volume total quando está inflado, ou seja:
Para começar, podemos igualar as massas do peixe encontradas no passo anterior e encontrar quanto vale , ficando com:
A massa do peixe não muda né, então temos:
Passo 4
Show!! Agora conseguimos substituir o valor do volume que foi inflado e achar o quanto ele vale em relação ao volume total do peixe depois de inflar:
O que nos dá:
Resposta
O peixe deve inflar as bolsas de ar em de seu volume expandido.