Devido à ação da gravidade, a densidade do ar não é constante, e quanto mais alto você vai, em relação ao nível do mar, menos denso vai ficando a atmosfera.
Suponha que a massa de ar, em relação ao nível do mar, vai decaindo exponencialmente com a altura da forma , onde e são constantes.
- Como que a densidade varia com a altura?
- Em qual altura a densidade cai para metade do valor ao nível do mar, em função das constantes e ?
Passo 1
Temos agora um caso em que a massa não é constante! Para isso temos que usar a forma diferencial da densidade:
Mas como , ea é constante, podemos dizer que
Reescrevendo a densidade
Só que, repara uma coisa: a derivada é negativa por que conforme vamos subindo na atmosfera a quantidade de massa diminui. Segundo a equação que escrevemos acima, isso significaria que a densidade seria negativa! Como isso não faz sentido a gente pode meter um módulo aqui!
Escrito dessa forma, o que estamos dizendo é que a densidade é a razão de quanto de massa tem em um volumezinho , e não a taxa de variação da massa em relação a altura (que é a derivada).
Passo 2
- Vamos jogar a função dentro da densidade
Derivando,
E esse é a função! =)
Passo 3
b)
Queremos o ponto em que a densidade cai pela metade do valor ao nível do mar.
No nível do mar, temos ,
Então, queremos a altura em que a densidade é
Jogando na equação:
Cortando
Aplicando log dos dois lados
Usando que , e isolando o h, temos:
Nessa altura a densidade cai pela metade! =)