Exercícios Resolvidos de Densidade

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Enunciado

6) Arquimedes.

Dois cilindros maciços de volumes idênticos são presos um ao outro por um fio e imersos num recipiente com água, como na figura. O fio que os une é inextensível e tem massa desprezível. Um dos cilindros tem densidade ρ + , o outro tem densidade ρ - e a densidade da água é ρ 0 de tal forma que ρ + > ρ 0 > ρ - . Suponha ρ + e ρ 0 fixos; qual a máxima densidade ρ m á x - para impedir que too o conjunto que se precipite e vá ao fundo do recipiente? Expresse seu resultado em termos de ρ + e ρ 0 .

a. p m á x - = ρ + + ρ 0 2

b. p m á x - = 2 ρ 0 + ρ +

c. p m á x - = 2 ρ 0 - ρ +

d. p m á x - = 2 ρ + - ρ 0

e. p m á x - = ρ + + ρ 0 2

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa questão deu pra gente dois cilindros que estão em equilíbrio dentro de um fluido. E pediu o valor máximo de ρ m á x - para que o sistema continue equilibrado.

Para casos como esses sempre devemos fazer o diagrama do corpo livre para cada um dos corpos e analisar direitinho as força que estão envolvidas em todo o processo.

Então, vem comigo que faremos isso juntos.

Passo 2

Para o primeiro corpo, temos:

Como o sistema está em equilíbrio, podemos dizer que:

P + - T - E + = 0

Isolando a tração temos:

T = P + - E +

E para o outro cilindro, teremos:

E poderemos escrever:

T + P - - E - = 0

E isolando a tração nessa equação também, ficamos com:

T = E - - P -

Igualando as duas equações de tração, ficaremos com:

P + - E + = E - - P -

Maravilha, agora vamos analisar o que está acontecendo aqui

Passo 3

Quando o cilindro está na iminência de afundar, todo o seu volume estará submerso no líquido, de modo que poderemos calcular o Empuxo usando a relação:

E - = ρ 0 V g

Da mesma maneira pra o outro cilindro, teremos:

E + = ρ - V g

E o peso pode ser expresso por:

P - = ρ - V g

E

P + = ρ + V g

Substituindo tudo que encontramos, ficaremos com:

P + - E + = E - - P -

Assim

E - = P + + P - - E +

Assim:

ρ m á x - = 2 ρ 0 - ρ +

E prontinho, encontramos nossa resposta.

Resposta

Resposta:

c. p m á x - = 2 ρ 0 - ρ +

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