Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Calcular a distância do ponto P 0 ( 2 ,   0 ,   7 ) à reta

r : x 2 = y - 2 2 = z + 3 1

Passo 1

O exercício nos pede para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Com a equação da reta r   fornecida conseguimos tirar as seguintes informações:

Dados:

r :   R = ( 0 ,   2 ,   - 3 ) r → = ( 2 ,   2 ,   1 )             e                 P 0 ( 2 ,   0 ,   7 )    

Vimos como calcular diferentes distâncias na teoria! Não lembra, como calcula entre ponto e reta?! Vamos relembrar!!

Passo 2

Quando queremos a distância entre ponto e reta, sempre temos que ter em mente a seguinte figura:

Nós temos o ponto P → P 0 e temos o vetor diretor da reta r . O próximo passo é determinar o ponto Q genericamente. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta r :

r : X = 0 ,   2 ,   - 3 + t ( 2 ,   2 ,   1 )

Assim, Q é:

Q = ( 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t )

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P 0 Q → :

P 0 Q → = Q - P 0 = 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t - 2 ,   0 ,   7 = ( 2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 )

Passo 3

Temos da equação da reta r que r → = ( 2 ,   2 ,   1 ) e descobrimos que   P 0 Q → = 2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P 0 Q → são ortogonais, logo:

P 0 Q → ∙ r → = 0

Calculando:

2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 ∙ 2 ,   2 ,   1 = 4 t - 4 + 4 t + 4 + t - 10 = 0 → t = 10 9

Agora que achamos que t = 10 9 podemos calcular Q :

Q = 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t → Q = 20 9 , 38 9 ,   - 17 9

Passo 4

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto P 0   e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto P 0 ( 2 ,   0 ,   7 ) e Q = 20 9 , 38 9 ,   - 17 9

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 2 - 20 9 2 + ( 0 - 38 9 ) 2 + ( 7 + 17 9 ) 2 = 872 3 u . c

Resposta

d P , Q = 872 3 u . c

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