Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Considere as seguintes retas em R 3 :

r 1 : 3 , - 1,0 + s 1,2 , 1 ,   s ∈ R

r 2 = { 0,2 , 3 + t 1,0 , - 1 ,   t ∈ R }

(a) Calcule a distância entre o ponto A = ( 1,0 , 2 ) e a reta r 1 .

Passo 1

(a) Pra calcular distância entre reta e ponto, vamos começar escrevendo um ponto genérico Q da reta r 1 .

Q = 3 + s , 2 s - 1 , s

Conseguimos então escrever o vetor A Q → :

A Q → = Q - A = 2 + s , 2 s - 1 , s - 2

Agora precisamos que esse vetor A Q → seja ortogonal ao vetor diretor da reta r 1 , que é o vetor ( 1,2 , 1 ) (carinha que tá sendo multiplicado pelo parâmetro s)!

Pra isso ser verdade, o produto interno entre eles é zero:

A Q → , r → 1   = 0 ⇒ 2 + s , 2 s - 1 , s - 2 , 1,2 , 1 = 0

s = 1 3

Substituindo esse valor de s na expressão pro ponto Q:

Q = 10 3 , - 1 3 , 1 3

Agora basta calcular a distância entre o ponto Q da reta r 1 e o ponto A dado!

d Q , A = 10 3 - 1 2 + - 1 3 - 0 2 + 1 3 - 2 2 = 5 3 3

Resposta

(a) 5 3 3

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