Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

Ver Teoria

Enunciado

Dada a reta r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) e os pontos A = 1,1 ,   1 ,   B = 0 ,   0 ,   1 , ache o ponto de r equidistante de A e B .

Passo 1

O problema nos dá a equação da reta r e pede para determinarmos o ponto de r que seja equidistante, ou seja, tenha a mesma distância dos pontos A e B . Assim, sendo R um ponto de r que queremos determinar, teríamos:

d A , R = d ( B , R )

Passo 2

Como vamos achar R ?

Relaxa! Vamos te explicar!!

Sabemos que R pertence à reta r , certo? Então, se temos a equação vetorial de r conseguiremos excrever R :

R = ( 1 + λ ,   λ ,   λ )

Passo 3

Já sabemos que R = ( 1 + λ ,   λ ,   λ ) e sabemos que A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) , então agora é fazer:

d A , R = d ( B , R )

Subsituindo na formuleta de distância entre pontos, temos:

d A , R = 1 - ( 1 + λ ) 2 + ( 1 - λ ) 2 + ( 1 - λ ) 2 = λ 2 + 2 ( 1 - λ ) 2

d A , R = 3 λ 2 + 2 - 4 λ  

d B , R = 0 - ( 1 + λ ) 2 + ( 0 - λ ) 2 + ( 1 - λ ) 2 = 3 λ 2 + 2

d B ,   R = 3 λ 2 + 2

Igualando d A , R = d ( B , R ) :

3 λ 2 + 2 - 4 λ   = 3 λ 2 + 2

Elevando ao quadrado os dois lados:

3 λ 2 + 2 - 4 λ = 3 λ 2 + 2

4 λ = 0 →   λ = 0

Se λ = 0 , substituindo esse valor em   R = ( 1 + λ ,   λ ,   λ ) :

  λ = 0 → R = 1 ,   0 ,   0

Então, o ponto de r equiditantes à A e B é:

1 ,   0 ,   0  

Resposta

1 ,   0 ,   0    

Exercícios de Livros Relacionados

Seja L 1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e (2, 4, 8). Seja L 2 a reta de interseção dos planos π 1 e π 2 , onde π 1 é o plano x - y + 2 z + 1 = 0 e π 2 é o plano que passa pelos po
Utilize a fórmula que aparece no Exercício 39 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. 1,0 , - 1 ; x = 5 - t ,y = 3 t ,z = 1 + 2 t
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :a) r : x - 1 = 2 y = zs : x = y = 0 t : x - 2 = z = 0
Calcule a distância do ponto P à reta r .a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1
Dados o ponto A = 3,4 , - 2 e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Determinar o ponto simétrico de em relação à r .