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Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Exercício 9123456781011121314151617

Enunciado

Sabendo que a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   k ) à reta

r : x = 1 - 2 t y = 2 t z = 2 - t

Vale 2   u . c , descubra o valor de k .

Passo 1

Vamos começar como se fossemos calcular a distância entre a reta e o ponto normalmente.

Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto Q genérico da reta r , que será o ponto:

Q = ( 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t )

Passo 2

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P Q → :

P Q → = Q - P = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t - 1 ,   2 ,   k = ( - 2 t ,   2 t - 2 ,   2 - t - k )

Passo 3

Da equação da reta r tiramos que r → = ( - 2 ,   2 ,   - 1 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 2 t , 2 t - 2 ,   2 - t - k

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ r → = 0

Calculando:

- 2 t ,   2 t - 2 ,   2 - t - k ∙ - 2 ,   2 ,   - 1 = 4 t + 4 t - 4 - 2 + t + k = 0 → t = 6 - k 9

Agora que achamos que t = 6 - k 9 podemos calcular Q :

Q = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t → Q = - 3 + 2 k 9 , 12 - 2 k 9 , 1 2 + k 9

Passo 4

Agora, para terminar vamos substituir todas as informações na fórmula da distância entre pontos.

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 1 - - 3 + 2 k 9 2 + 2 - 12 - 2 k 9 2 + k - 1 2 + k 9 2 = 2 u . c

9 + 3 - 2 k 9 2 + 18 - 12 + 2 k 9 2 + 9 k - 1 2 - k 9 2 = 2 u . c

144 - 48 k + 4 k 2 81 + 36 + 24 k + 4 k 2 81 + 64 k 2 - 192 k + 144 81 = 2 u . c

324 - 2 16 k + 72 k 2 81 = 2 u . c

Elevando os dois lados ao quadrado,

324 - 216 k + 72 k 2 81 = 4

Passando o 81 para o outro lado,

72 k 2 - 2 16 k + 324 = 324

72 k 2 - 216 k = 0

k 72 k - 216 = 0

k = 0   o u   k = 3

Resposta

k = 0   o u   k = 3

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