Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

Ver Teoria

Enunciado

Calcular a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) à reta

r : x = 1 - 2 t y = 2 t z = 2 - t

Passo 1

Bora começar!

Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto Q genérico da reta r , que será o ponto:

Q = ( 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t )

Passo 2

Aí, a gente lembra dessa “figurosa” e pensa: “Ahhh, agora que eu calculo o vetor   P Q →

Isso aí, pequeno gafanhoto!

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P Q → :

P Q → = Q - P = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t - 1 ,   2 ,   3 = ( - 2 t ,   2 t - 2 ,   - 1 - t )

Passo 3

Da equação da reta r tiramos que r → = ( - 2 ,   2 ,   - 1 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 2 t , 2 t - 2 , - 1 - t

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ r → = 0

Calculando:

- 2 t ,   2 t - 2 ,   - 1 - t ∙ - 2 ,   2 ,   - 1 = 4 t + 4 t - 4 + 1 + t = 0 → t = 1 3

Agora que achamos que t = 1 3 podemos calcular Q :

Q = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t → Q = 1 3 , 2 3 , 5 3

Passo 4

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto P e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto P ( 1 ,   2 ,   3 ) e Q = 1 3 , 2 3 , 5 3 .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 1 - 1 3 2 + 2 - 2 3 2 + 3 - 5 3 2 = 4 = 2 u . c

Resposta

d P , Q = 2 u . c

Exercícios de Livros Relacionados

Seja L 1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e (2, 4, 8). Seja L 2 a reta de interseção dos planos π 1 e π 2 , onde π 1 é o plano x - y + 2 z + 1 = 0 e π 2 é o plano que passa pelos po
Utilize a fórmula que aparece no Exercício 39 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. 1,0 , - 1 ; x = 5 - t ,y = 3 t ,z = 1 + 2 t
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :a) r : x - 1 = 2 y = zs : x = y = 0 t : x - 2 = z = 0
Calcule a distância do ponto P à reta r .a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1
Dados o ponto A = 3,4 , - 2 e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Determinar o ponto simétrico de em relação à r .