Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

Ver Teoria
Exercício 7123456891011121314151617

Enunciado

As retas r 1 e r 2 são paralelas. Determinar a distância entre elas.

Dadas: r 1 :   x = y = z - 2 2 e r 2 : x + 1 2 = y - 1 2 = z 4

Passo 1

Distância entre retas?! Mas eu não sei isso ainda!!

Calma, pequeno gafanhoto. Vai ficar igualzinho a distância entre ponto e reta se a gente escolher um ponto de uma das retas e calcular a distância desse ponto a outra reta!

Um ponto de r 1 é P 1 = ( 0 ,   0 ,   2 )

Agora é só calcular a distância desse ponto a r 2 !

Passo 2

Agora vamos calcular o ponto Q , genérico da reta r 2 . Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta r 2 :

r 2 : x ,   y ,   z = - 1 ,   1 ,   0 + t ( 2 ,   2 ,   4 )

Assim, Q é:

Q = ( - 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   4 t )

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P 1 Q → :

P 1 Q → = Q - P 1 = - 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   4 t - 0,0 , 2 = - 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   4 t - 2

Passo 3

Temos da equação da reta r 2 que r 2 → = ( 2 ,   2 ,   4 ) e descobrimos que   P 1 Q → = - 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   4 t - 2 .Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r 2 e o vetor P 1 Q → são ortogonais, logo:

P 1 Q → ∙ r 2 → = 0

Calculando:

- 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   4 t - 2 ∙ 2 ,   2 ,   4 = - 2 + 4 t + 2 + 4 t + 16 t - 8 = 0 → t = 1 3

Agora que achamos que t = 1 3 podemos calcular Q :

Q = - 1 + 2 t ,   1 + 2 t ,   4 t → Q = - 1 3 , 5 3 , 4 3

Passo 4

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distância entre o ponto P 1   e a reta r , é só calcular a distância entre os pontos P 1 ( 0,0 , 2 ) e Q = - 1 3 , 5 3 , 4 3

d P 1 , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P 1 , Q = 0 - - 1 3 2 + 0 - 5 3 2 + 2 - 4 3 2 = 30 3   u . c

Resposta

d P 1 , Q = 30 3   u . c

Exercícios de Livros Relacionados

Seja L 1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e (2, 4, 8). Seja L 2 a reta de interseção dos planos π 1 e π 2 , onde π 1 é o plano x - y + 2 z + 1 = 0 e π 2 é o plano que passa pelos po
Utilize a fórmula que aparece no Exercício 39 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. 1,0 , - 1 ; x = 5 - t ,y = 3 t ,z = 1 + 2 t
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :a) r : x - 1 = 2 y = zs : x = y = 0 t : x - 2 = z = 0
Calcule a distância do ponto P à reta r .a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1
Dados o ponto A = 3,4 , - 2 e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Determinar o ponto simétrico de em relação à r .