P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2014.2

Sejam as transformações lineares associadas, respectivamente, às matrizes:

Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

1. Existe uma base de autovetores para
2. Existe uma base de autovetores para .

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Seja uma matriz e uma de suas formas escalonadas. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

1. A dimensão do núcleo de é igual à dimensão do núcleo de .
2. O núcleo de é igual ao núcleo de .

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Considere a transformação satisfazendo , e . Assinale a soma dos elementos da diagonal da matriz de na base canônica.

Sabendo que os autovalores da transformação associada à matriz são e , então as dimensões de seus autoespaços, e , são respectivamente:

e

e

e

e

Seja definida por . Sejam e bases do com . Sabendo que então:

As coordenadas do vetor na base são . Calcule as coordenadas de na base canônica.

Sejam e matrizes quadradas tais que seus elementos não são todos iguais. As linhas de são todas iguais e as colunas de são todas iguais. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

1. sempre é autovalor de , mas nunca é autovalor de .
2. sempre é autovetor de , mas nunca é autovetor de .

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

Seja

Qual das matrizes poderia ser a inversa de ?

Seja uma transformação linear sobrejetiva. Assinale a resposta correta:

A dimensão do núcleo de é .

A dimensão do núcleo de é .

A dimensão do núcleo de é .

é injetiva.

Considere um sistema linear , onde é uma matriz quadrada. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

1. Se o núcleo de é uma reta, então o sistema sempre tem solução.
2. Se é injetiva, então o sistema pode não ter solução.

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

Seja um espaço vetorial de dimensão quatro e uma transformação linear tal que existem subespaços e de , ambos de dimensão dois, tais que , para e para . Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. O espaço possui uma base de autovetores de .
2. Existe um vetor não nulo tal que

é verdadeira e é falsa.

e são verdadeiras.

é falsa e é verdadeira.

e são falsas.

Seja o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a . Considere a transformação linear , definida por . Assinale a matriz que representa na base :

Considere a matriz

e determine se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Existe um vetor não nulo tal que .
2. Existe um vetor não nulo tal que existe.

Ambas são verdadeiras.

é falsa e é verdadeira.

Ambas são falsas.

é verdadeira e é falsa.