A5 T1
Seja um espaço vetorial de dimensão quatro e uma transformação linear tal que existem subespaços e de , ambos de dimensão dois, tais que , para e para . Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
- O espaço possui uma base de autovetores de .
- Existe um vetor não nulo tal que
é verdadeira e é falsa.
e são verdadeiras.
é falsa e é verdadeira.
e são falsas.
Passo 1
Afirmativa :
O enunciado fala que , para e para . E o que isso significa em termos de autoespaço?
Significa que é o autoespaço associado ao autovalor ! Porque todo vetor de aplicado na transformação retorna ele mesmo.
Já é o autoespaço associado ao autovalor seguindo o mesmo raciocínio que usamos para .
Além disso, como sabemos que o mesmo autoespaço não pode estar associado a mais de um autovalor, a interseção entre e tem de ser ! Isso significa que a soma da dimensão dos autoespaços é :
Logo, temos uma base de autovetores! E como e pertencem a , então possui uma base de autovetores ;)
Passo 2
Afirmativa :
Se existe um vetor não nulo tal que então temos um autovalor . Isso quer dizer que temos um autoespaço de dimensão pelo menos associado à ele! Mas isso é impossível, já que a soma da dimensão dos autoespaços não pode ser maior que (e já temos como vimos na afirmativa ).
Resposta
Letra