A5 T1
Sejam e matrizes quadradas tais que seus elementos não são todos iguais. As linhas de são todas iguais e as colunas de são todas iguais. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:
- sempre é autovalor de , mas nunca é autovalor de .
- sempre é autovetor de , mas nunca é autovetor de .
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Ambas são falsas.
Ambas são verdadeiras.
Passo 1
A matriz é assim:
Se pegarmos o sistema homogêneo e removermos as linhas repetidas, teremos:
Temos variáveis e equação, então nosso núcleo tem dimensão . E sabemos que se a dimensão do núcleo é maior que então a matriz tem obrigatoriamente o autovalor .
Já a matriz é assim:
Está claro que a dimensão da imagem é ? Temos apenas um vetor nas colunas da matriz. Então pelo a dimensão do núcleo é , logo a matriz também tem o autovalor .
Então sempre é autovalor das duas matrizes e essa afirmação é falsa.
Passo 2
Se é autovetor então ao aplicarmos ele nessas matrizes temos que receber um múltiplo dele. Aplicando em :
Beleza, então ele é autovetor de , vamos ver a :
Opa, o único jeito de ser autovetor é se concorda? Mas nesse caso todos os elementos da matriz seriam iguais! E ele falou no enunciado que os elementos delas não são todos iguais. Então realmente nunca será autovetor de .
Resposta
Letra