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P1 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.2.2

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Álgebra Linear - UFRJ

Seja A = 1 - 1 1 4 - 3 5 - 1 - 1 - 2

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A ?

( a ) 11 3 * - 3 * * * * *

( b ) 11 - 3 * 3 * * * * *

( c ) 11 1 * 3 * * * * *

( d ) - 1 4 1 * 1 2 * * * * *

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Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear a seguir tenha solução única?

- 2 - 1 - 1 2 4 7 1 - 5 - 8 6 - 9 + α 6 2 - 4 2 - 6 x y z w = - 3 9 - 9 + β - 4

( a ) α ≠ 2 , β = 3

( b ) α = 4 , β ≠ 4

( c ) α ≠ 2 , β ∈ R

( d ) α ≠ 3 , β ∈ R

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A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada 1 - 3 - 3 - 3 - 6 2 - 3 - 1 - 1 - 1 1 1 28 26 16 - 8 é:

( a ) - 12

( b ) - 10

( c ) - 13

( d ) - 11

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Seja W = a , b , c , d , e , f e = f - 3 a , c = 0 , d = 2 f + 3 e um subespaço de R 6 . A dimensão de W é igual a:

( a ) 5

( b ) 4

( c ) 2

( d ) 3

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Seja A = 1 0 2 2 - 3 1 - 5 - 4 2 - 3 1 - 1 .

Então, a dimensão do núcleo de A é igual a:

( a ) 2

( b ) 1

( c ) 3

( d ) 0

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Seja - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3 0 0 - 6 a matriz obtida de A através da seguinte sequência de operações elementares:

L 1 ↔ L 2

L 2 ← L 2 - 3 L 3

L 3 ↔ L 2

L 3 ← L 3 - 2 L 1

Qual dentre as seguintes é a matriz A original?

a   - 2 - 2 - 12 - 1 5 - 1 0 - 4 - 2

b - 2 - 14 - 17 - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3

( c ) 2 - 4 13 1 - 5 2 0 2 4

( d ) 2 17 9 1 4 - 1 0 3 2

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A transposta de A é uma matriz 19 × 34 , cujas linhas geram um espaço de dimensão a 14 . Qual a dimensão do Núcleo de A .

( a ) 5

( b ) 14

( c ) 20

( d ) 15

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Se as coordenadas de um vetor v → na base β = 1 , 2 , - 1 , 1,1 , 0 , 1,0 , 0 são v → β = - 2,4 , - 3 , então as coordenadas de v → na base canônica são:

( a ) v → ε = 3 , - 2 , - 3

( b ) v → ε = 9,2 , - 2

( c ) v → ε = - 1,0 , 2

( d ) v → ε = 9,2 , 8

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O determinante da matriz 3 3 0 1 3 4 2 2 3 2 - 1 1 - 3 - 4 - 1 1 é:

( a ) 6

( b ) - 39

( c ) - 38

( d ) 7

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Considere as seguintes afirmações:

I O conjunto formado pelas somas de todos os possíveis múltiplos de 1 , 0,1 , 1 e de 1,1 , 1,1 é um subespaço do R 4 .

I I O núcleo e a imagem de uma matriz real A m × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Considere as seguintes afirmações:

I Se o conjunto u → , v → , w → é linearmente independente, então o conjunto u → + v → , v → + w → ,   u → + w → também é linearmente independente.

I I Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I Dados dois subespaços de V , a soma de suas dimensões não pode ser maior que n .

I I Existem conjuntos linearmente dependentes e geradores de V com n vetores.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Sejam A e B matrizes tais que o produto matricial A B está definido. Considere as seguintes afirmações:

I As colunas do produto A B são combinações lineares das colunas de A .

I I As linhas do produto A B são combinações lineares das linhas de B .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Seja A x = b um sistema linear m × n qualquer. Considere as seguintes afirmações:

I Se a dimensão do núcleo de A for diferente de zero então A x = b pode ter solução única.

I I Se a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A é menor do que m , então pode haver A x = b sem solução.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Considere as seguintes afirmações:

I Se A ~ B através de uma operação que substitui uma linha por uma soma entre outras linhas, então det ⁡ A = det ⁡ B .

I I det ⁡ α A = α n det ⁡ A , para todo α ∈ R .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2013.1P1 - 2013.2P3 - 2015.2.2P2 - 2015.2.1P2 - 2015.2.2P3 - 2017.1P3 - 2018.1P4 - 2018.1P2 - 2022.2P1 - 2022.2