Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Enunciado

Considere um sistema linear A x = b , onde A é uma matriz quadrada. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. Se o núcleo de A é uma reta, então o sistema sempre tem solução.
  2. Se A é injetiva, então o sistema pode não ter solução.

a   Ambas são verdadeiras

b   Ambas são falsas

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Se o núcleo é uma reta, então a dimensão do núcleo é maior que 0 . Isso implica que a matriz não é injetiva. Como ela é quadrada e não é injetiva, então ela não é sobrejetiva. Como ela não é sobrejetiva, então o sistema não terá sempre solução. Afirmativa falsa.

Afirmativa I I :

Como A é quadrada, se ela é injetiva, então também é sobrejetiva. Se ela é sobrejetiva, então, por definição, sempre terá solução. Logo, afirmativa falsa.

Resposta

Letra b

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