Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

P3 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.2.2

Ver tudo sobre
Álgebra Linear - UFRJ

Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear a seguir tenha solução única?

1 - 3 2 3 - 2 9 - 5 - 6 - 1 0 - 3 + α - 3 2 0 2 12 x y z w = 0 1 2 + β 2

( a ) α ≠ 2 , β ∈ R

( b ) α ≠ 1 , β ∈ R

( c ) α = 3 ,   β ≠ - 2

( d ) α ≠ 1 , β = - 3

Ver solução completa

Se as coordenadas de um vetor v → na base β = 1 , 0,0 , 2 , - 1 , - 1 , - 1,1 , 0 são v → β = 2,5 , - 2 , então as coordenadas de v → na base canônica são:

a   v → ε = 12,0 , 2

( b ) v → ε = 2,1 , 3

( c ) v → ε = 5,2 , 7

( d ) v → ε = 14 , - 7 , - 5

Ver solução completa

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

- 9 12 1 - 6 9 - 1 0 0 3

a   11

b   7

c   10

d   9

Ver solução completa

Considere a matriz A = - 8 3 - 18 7 . Qual é a direção do vetor associado ao autovalor de maior módulo

a   A direção do vetor 1,3

b   A direção do vetor - 1 , - 2

c   A direção do vetor 1 , - 2

d   A direção do vetor - 1,3

Ver solução completa

Considere o produto interno F : R 3 × R 3 → R , v = x 1 , y 1 , z 1 , u = x 2 , y 2 , z 2 , definido por F v , u = 2 x 1 x 2 - 2 x 1 z 2 + y 1 y 2 - 2 x 2 z 1 + 3 z 1 z 2 . Determine a distância entre o vetor 0 , 0,2 e o vetor 2 , - 1,1 .

( a ) 42

( b ) 2 5

( c ) 10

( d ) 3 5

Ver solução completa

Seja W o espaço gerado pelas linhas de 1 1 - 2 1 1 - 1 - 1 - 1 3 9 - 9 9 - 3 3 3 3 . Qual a dimensão do complemento ortogonal de W ?

( a ) 2

( b ) 1

( c ) 3

( d ) 0

Ver solução completa

Considere o produto interno usual de R 4 . Calcule a projeção ortogonal do vetor 2 , 2,2 , 2 no subespaço gerado pelo vetor - 2,1 , 2,1 .

( a ) - 2 5 , 1 5 , 2 5 , 1 5

( b ) - 8 5 , 4 5 , 8 5 , 4 5

( c ) - 6 5 , 3 5 , 6 5 , 3 5

( d ) - 4 5 , 2 5 , 4 5 , 2 5

Ver solução completa

Para quais valores de α os vetores v = 1 , 0,1 , α e u = α , 20 , - 11,0 NÃO SÃO ortogonais entre si?

a   α = - 11

b   α ≠ - 11

c   α = 11

d   α ≠ 11

Ver solução completa

Em R n com o produto interno usual, seja W um subespaço não trivial. Sejam P W e R W respectivamente a projeção e a reflexão ortogonais com respeito a W . Considere as seguintes afirmações:

I u → + R W u → é ortogonal a W .

I I u → + P W u → 2 = u → 2 + P W u → 2

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Ver solução completa

Considere as seguintes afirmações:

I O núcleo e a imagem de uma matriz real A k × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .

I I O conjunto formado pelas somas de todos os possíveis múltiplos de p x = 2 x 3 + 3 x - 2 e de q x = x 3 + x 2 + x - 1 é um subespaço do espaço de polinômios.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Ver solução completa

Considere as seguintes afirmações:

I Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum é múltiplo escalar dos demais.

I I Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Ver solução completa

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, considere as seguintes afirmações:

I Qualquer conjunto ortogonal de vetores não nulos é linearmente dependentes.

I I Dados dois vetores não nulos u → e v → , temos u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Ver solução completa

Sejam V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I Todo conjunto gerador de V é linearmente independente.

I I Dados dois subespaços de V , a dimensão do subespaço obtido pela interseção entre eles não pode ser maior que n .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Ver solução completa

Considere as seguintes afirmações:

I Seja A uma matriz 7 × 7 não diagonalizável, então A possui 7 autovetores linearmente independentes.

I I Se uma matriz é diagonalizável, então ela é simétrica.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

Ver solução completa

Considere as seguintes afirmações:

I Os autovalores de uma matriz são os mesmos da sua forma escalonada.

I I Se λ ≠ 0 é autovalor de A , uma matriz invertível, então λ - 1 é autovalor de A - 1 com os mesmos autovetores de A .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

Ver solução completa

Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2013.1P2 - 2015.2.1P2 - 2015.2.2P3 - 2017.1P3 - 2018.1P2 - 2022.1P2 - 2022.2P4 - 2018.1P1 - 2022.2P4 - 2019.2