Seja uma matriz e uma de suas formas escalonadas. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

1. A dimensão do núcleo de é igual à dimensão do núcleo de .
2. O núcleo de é igual ao núcleo de .

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Antes de irmos para a questão vamos ver um exemplo pra fazer vocês entenderem mais claramente. Imagine que temos um sistema . Quando nós escalonamos para tentarmos encontrar a solução, obtemos algo do tipo , onde é a matriz escalonada e o vetor é o vetor depois de passar por todas as operações de escalonamento.

Sabemos com certeza que o resultado de e é o mesmo, mas não podemos dizer que o resultado de é o mesmo de concorda? Aqui o vetor solução tem valores que serão alterados com o escalonamento. Sendo assim, escalonar apenas a matriz e escalonar a matriz aumentada são suas coisas diferentes.

Já quando queremos o núcleo e resolvemos , sabemos que terá a mesma solução de ! Aqui só temos zeros no vetor solução, então pouco importa se vamos escalonar a matriz aumentada ou a matriz apenas. Com isso, chegamos a conclusão de que o núcleo da matriz será sempre igual ao da matriz .