P3 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.2.1

Considere a base ortogonal . A quinta coordenada do vetor com relação à base é:

(Dica: use a ortogonalidade da base para evitar contas!)

A projeção ortogonal do vetor sobre o plano é o vetor:

Seja :

Seja . Quando tende a infinito, a direção de converge para a direção da reta:

Qual dos sistemas abaixo sempre possui solução?

, onde

, onde

, onde

, onde

Seja um subespaço de e . Sejam e as projeções de em e , respectivamente:

é verdadeira, mas é falsa

e são verdadeiras

e são falsas

é falsa, mas é verdadeira

Seja a projeção ortogonal no plano . Assinale abaixo um vetor que NÃO É AUTOVETOR de :

Seja o espaço vetorial dos polinômios da forma e seja o espaço vetorial dos polinômios da forma . Em ambos os espaços, defina a forma bilinear . Considere as afirmações:

1. é um produto interno em .
2. é um produto interno em .

Ambas são verdadeiras.

é verdadeira, é falsa.

Ambas são falsas.

é falsa, é verdadeira.

Seja uma transformação linear tal que

1. pode ser uma reflexão por um plano de
2. pode ser uma reflexão por uma reta de

é falsa, mas é verdadeira

é verdadeira, mas é falsa

e são verdadeiras

e são falsas

Seja .

1. Se é uma rotação de radianos centrada na origem, então não possui autovetores.
2. Se é uma rotação de radianos, em torno de um eixo passando pela origem, então não possui autovetores.

e são verdadeiras

e são falsas

é verdadeira, mas é falsa

é falsa, mas é verdadeira

Dado o produto interno em (espaço dos polinômios da forma definido por , assinale o polinômio que é ortogonal a :

Sejam e números não nulos e e números quaisquer. O sistema:

nunca tem solução

sempre tem várias soluções

só tem solução se

só tem solução se

Assinale o vetor mais próximo de segundo o produto interno padrão de

Considere a matriz

Assinale o vetor de menor norma de acordo com o produto interno , definido por

Seja um conjunto ortonormal.

Qual das opções abaixo é a CORRETA?

e são verdadeiras.

e são falsas.

é verdadeira, mas é falsa.

é falsa, mas é verdadeira.

Seja uma reta em que não passa pela origem.

1. pode ser a imagem de alguma transformação linear
2. pode ser o núcleo de alguma transformação linear

é verdadeira, mas é falsa

e são verdadeiras

e são falsas

é falsa, mas é verdadeira

Os autovalores da matriz são:

e

e

e

e