P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.2.2

Considere a transformação satisfazendo , e Assinale a soma dos elementos da diagonal da matriz .

Seja uma reflexão do em relação ao eixo seguida da expansão de na direção do eixo , mantendo os demais eixos fixos. Os autovalores de são:

e

e

e

e

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

Seja o espaço formado pelas combinações lineares das funções . Considere a transformação linear que a cada função em associa a derivada dessa função. Então:

tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores

tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores

tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores

tem autovalores complexos

Qual a matriz que realiza a reflexão ortogonal dos vetores do através do plano , seguida de expansão de e finalizada pela rotação de graus em torno do eixo pela regra da mão direita (sentido trigonométrico).

Considere a matriz e o vetor . Qual é a direção aproximada do vetor ?

A direção do vetor

A direção do vetor

A direção do vetor

A direção do vetor

Sejam a reflexão ortogonal através da reta e a reflexão ortogonal através da reta . Qual é o polinômio característico de

Seja linear e base de tal que , e . Qual é a representação matricial de utilizando a base no domínio e no contradomínio?

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de é:

Seja uma transformação linear cuja imagem é o plano e o núcleo é a reta que passa pela origem na direção do vetor . Assinale a matriz que pode representar :

Considere as seguintes afirmações:

A transformação que leva uma matriz na sua transposta é linear.

Não existe transformação linear que seja sobrejetiva.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Considere as seguintes afirmações:

Se todos os autovalores de uma matriz são distintos, então a matriz é diagonalizável.

Seja uma matriz não diagonalizável, então possui autovetores linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Considere as seguintes afirmações:

Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então a dimensão do núcleo de é zero.

Sejam e matrizes tal que o produto está definido. Se é injetiva, então as colunas de são linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Considere as seguintes afirmações:

Se é autovalor de , uma matriz invertível, então é autovalor de com os mesmos autovetores de .

Se são duas matrizes que representam a mesma transformação linear em bases distintas, então elas possuem distintos polinômios característicos.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

Quais são todos os valores de para os quais a transformação linear dada por é invertível?

qualquer