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P4 de Álgebra Linear da UFRJ - 2016.2

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Álgebra Linear - UFRJ

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear tal que T - 1,1 = 4 - 1,1 e T 1,2 = 4 1,2 . Seja A a matriz de T em uma base qualquer. Calcule a soma dos elementos da diagonal de A .

a 1 4

b   4

c   9

d   8

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Seja A uma matriz 3 × 3 e seja b = 1,1 , 1 . O conjunto de soluções do problema A x = b é dado pelos vetores x ∈ R 3 da forma:

x = 1,2 , 3 + s 1,0 , 1 + t 3,4 , 5 ,   s , t ∈ R

Assinale a alternativa correta?

a   0 é autovalor de A e o autoespaço correspondente tem dimensão 1 .

b   0 é autovalor de A e o autoespaço correspondente tem dimensão 2 .

c   0 é autovalor de A e o autoespaço correspondente tem dimensão 3 .

d   0 não é autovalor de A .

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O determinante da matriz 1 1 0 1 1 2 2 2 0 0 - 2 0 2 3 2 4 é:

a - 4

b - 2

c - 3

d - 1

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Considere a matriz A = 1 - 2 1 - 1 . Quais são os seus autovalores complexos?

a   2 - i e i + 2

b - i - 1 e i - 1

c   1 - i e i + 1

d   i e - i

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Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 . Considere a transformação linear T : P 2 → P 2 dada por:

T a x 2 + b x + c = a + c x 2 + b x + c

Qual é a soma das dimensões dos autoespaços de T ?

a   1

b   2

c   0

d   3

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Sejam T : R 2 → R 2 linear e A = T ε ← ε a matriz que representa T com relação à base canônica. Se A = - 12 9 - 18 13 , qual é a matriz de T com relação à base β = 1,1 , 1,2 ?

a   - 3 6 - 5 8

b   - 82 - 131 52 83

c   - 82 52 - 131 83

d   - 1 4 - 2 2

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Seja β = 1 - x 2 , x + 1 , x - 1 uma base de P 2 . Se p x = 1 + 4 x - 2 x 2 então a soma das coordenadas de p na base β é:

a   6

b   8

c   1

d   3

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Seja H o subespaço definido por

2,1 , - 1 , 2 , - 1,2 , 2 , - 7,11 , - 2,5 , - 8

Qual dos conjuntos abaixo é base de H ?

a   2,1 , - 1 , 2 , - 1,2

b   2,1 , - 1

c   2,1 , - 1 , 2 , - 1,2 , 2 , - 7,11

d   2,1 , - 1 , 2 , - 1,2 , 2 , - 7,11 , - 2,5 , - 8

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Sejam α = 1,1 , - 1,1 e β = 1 , - 4 , - 3,13 duas bases de R 2 . A matriz I β ← α de mudança de base de α para β é igual a:

a   9 2 17 4

b   16 5 - 10 - 3

c   16 - 10 5 - 3

d   9 17 2 4

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Considere as seguintes afirmações:

I Existe uma matriz real M tal que M - 1 0 - 1 1 0 M é diagonal.

I I Sabendo que v → e u → são autovetores de A A T , concluímos que v → u → = 0 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Considere as seguintes afirmações:

I Os autovalores de A T são diferentes dos de A , se A não for simétrica.

I I Duas matrizes A e B que representam a mesma transformação linear em bases distintas podem possuir polinômios característicos distintos.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Considere as seguintes afirmações:

I Se A ~ B , onde as linhas de B são permutações das linhas de A , então det ⁡ A = - det ⁡ B

I I det ⁡ A B = det ⁡ A det ⁡ B

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Seja q 1 = 0 , 1,0 , 2,2 e seja β = q 1 , q 2 , … , q 5 uma base ortogonal de R 5 . Qual é a primeira coordenada do vetor - 5 , 7 , - 8,5 , 5 com relação à base β ?

a - 4

b   3

c   4

d   1

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Considere as seguintes afirmações:

I Se T : R 9 → R 7 é uma transformação linear sobrejetiva, então a dimensão do núcleo de T é igual a 0 .

I I Sejam A e B matrizes reais n × n . Se A B é sobrejetiva, então A possui autovalor igual a 0 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Considere o paralelepípedo em R 3 abaixo,

onde A = 2,1 , 3 , B = 1,1 , 1 , C = 2,3 , - 1 e F = - 2,2 , 1 . O volume deste paralelepípedo é:

a   7

b   16

c   2

d   15

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2013.1P3 - 2015.2.2P2 - 2015.2.1P2 - 2015.2.2P3 - 2017.1P3 - 2018.1P2 - 2022.1P2 - 2022.2P4 - 2018.1P1 - 2022.2