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P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2016.2

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Álgebra Linear - UFRJ

Seja T : R 2 → R 3 uma transformação linear tal que T 1,2 = 2 , - 1,3 e T 1,1 = 1,0 , 1 . A matriz associada a T é o resultado do seguinte cálculo:

a   1 1 2 1 2 - 1 3 1 0 1

b   1 1 2 1 - 1 2 - 1 3 1 0 1

c   2 1 - 1 0 3 1 1 1 2 1

d   2 1 - 1 0 3 1 1 1 2 1 - 1

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Seja A = M D M - 1 , onde M = 1 1 1 2 e D = 2 0 0 2 3 , de forma que M - 1 = 2 - 1 - 1 1 . Calcule A 6 .

a   A 6 = 10 - 6 8 0

b   A 6 = 12 - 4 8 0

c   A 6 = 10 6 - 8 0

d   A 6 = 8 - 4 10 0

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Sejam T uma transformação linear no plano tal que T 1,1 = 1,2 e T 1,2 = 2,1 . Então T 1,0 é igual a

a   3,0

b   0,3

c   1 , - 1

d   - 1,1

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Seja T uma reflexão no plano, através de uma reta que passa pela origem. Se T 1,2 = 2 , - 1 , então T 3,1 é igual a

a   3,1

b   1 , - 3

c   3 , - 1

d   - 1,3

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Sejam M 2 × 2 o espaço das matrizes 2 × 2 , e H = 2,3 o espaço gerado pelo vetor 2,3 . Considere as afirmativas:

I O subconjunto A ∈ M 2 × 2 N u c A = H , das matrizes cujo núcleo é igual a H , é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

I I O subconjunto A ∈ M 2 × 2 N u c A ⊇ H , das matrizes cujo núcleo contém H , é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Pode-se afirmar que:

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é falsa e I I é verdadeira

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é falsa

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Seja A uma matriz 5 × 5 t.q. A 2 = 0 . Considere as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.

I A imagem de A é subespaço do núcleo de A .

I I A dimensão da imagem de A pode ser 3 .

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é verdadeira e I I é falsa

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

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Os autovalores da matriz 2 - 1 2 - 1 são:

a   2 e 2

b   1 e 2

c   2 e 0

d   1 e 0

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A é uma matriz 8 × 6 cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 4 . Qual é a dimensão do Núcleo de A ?

a   1

b   3

c   2

d   4

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Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz 8 - 3 0 18 - 7 0 0 0 4

a   9

b   5

c   8

d   7

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Dentre as transformações lineares T : R 2 → R 2 abaixo, assinale aquela cujo núcleo é a reta 3 x + 2 y = 0 e cuja imagem é a reta 2 x + 6 y = 0 .

a   T x , y = - 18 x + 12 y , 6 x + 4 y

b   T x , y = - 18 x - 12 y , - 6 x + 4 y

c   T x , y = - 18 x - 12 y , 6 x + 4 y

d   T x , y = - 18 x + 12 y , - 6 x + 4 y

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Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0 ?

a   1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1

b   1 2 3 1 2 3 1 2 3

c   1 - 1 0 1 1 - 2 1 1 - 2

d   1 1 1 - 1 1 1 0 - 2 - 2

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Considere as seguintes afirmações:

I Existe uma transformação linear T : R 13 → R 17 que seja injetiva.

I I Existe uma transformação linear T : R 18 → R 12 que seja sobrejetiva.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

d   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

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É dado que A = 5 6 1 3 - 1 6 1 3 1 3 1 3 - 1 6 1 3 5 6 é a matriz de uma projeção ortogonal. O autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é:

a   O plano x - 2 y + z = 0

b O plano x + y - 2 z = 0

c   A reta gerada por 1 , - 2,1

d   A reta gerada por 1,1 , - 2

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Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e seja H o subespaço dos polinômios p tais que p 1 = - p 0 = p - 1 . A dimensão de H é:

a   1

b   3

c   0

d   2

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Seja A uma matriz 2 × 2 tal que

( i ) 1,2 é autovetor associado ao autovalor 1 ;

i i 1 , - 2 é autovetor associado ao autovalor - 1 .

Se v = - 1,4 , então A v é igual a:

a   4 , - 1

b   - 2,4

c   - 1,1

d   2 , - 2

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2013.1P3 - 2015.2.2P2 - 2015.2.1P2 - 2015.2.2P3 - 2017.1P3 - 2018.1P2 - 2022.1P2 - 2022.2P4 - 2018.1P1 - 2022.2