Seja

1. Determine as funções e , explicitando seus domínios.
2. é contínua em ? Justifique
3. é diferenciável em ? Justifique
4. é diferenciável em para ? Justifique

Agora, quando temos a gente não pode simplesmente derivar o zero, né?!

Então, aqui, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Ficamos, então, com:

Agora, pra finalizar a letra , só falta saber o domínio dessas derivadas parciais. Vamos lá:

E

Assim, tanto como estão definidos em todo o .

Para saber se a função derivada parcial em relação a é contínua em , precisamos que

Como para qualquer função normal.

(é igual a zero porque )

Vamos tentar calcular esse limite então e vê se dá zero.

Podemos dividir esse limite em dois:

Vamos analisar cada um desses limites.

Aqui temos o produto de uma função limitada por natureza, que é a função seno, com uma função, cujo limite facilmente podemos ver que vai a zero, olha:

Assim, pelo teorema do anulamento, todo esse primeiro limite vale zero!

Agora vamos para a segunda parte do limite:

Aqui também temos o produto de uma função limitada por natureza, que é a função cosseno, com uma outra função, só que agora, não é tão fácil provar que o limite dessa outra função vai a zero.

Pelo contrário, na real, temos que o grau do numerador é , que é maior que o grau do denominador. Isso é um bom indicio de que esse limite não existe. Vamos testar caminhos.

Começando pelo caminho :

Agora vamos tentar o caminho :

Vishhh, então esse limite não existe mesmo.

Então voltando ao nosso limite inicial,

Percebemos que como a segunda parcela dele não existe, podemos dizer que esse limite não existe.

Assim, se ele não existe, ele não tem como ser igual a zero. E se não é igual a zero, que é a definição de quando , então a função não é contínua em .

Como as derivadas parciais de existem em , para saber se é diferenciável ou não, temos que analisar se:

As derivadas parciais em nós já temos da letra . Substituindo tudo então, ficamos com:

Então temos dois limites

Em ambos os limites temos a função seno, que é uma função limitada. Então se conseguimos provar que o limite da outra função que está multiplicando o seno vai a zero, pelo teorema do anulamento, todo o limite vai a zero e aí teremos que nossa função é diferenciável.

Vamos tentar.

Começando pelo primeiro limite

Vamos tentar aplicar o teorema do sanduiche na primeira parte desse limite.

Mas no limite tem uma raiz, então vamos tirar a raiz disso:

Cuidado que , o que é se for negativo, então não se esqueça do módulo! ;)

Agora dividindo tudo por :

Isso está bem parecido com a expressão dentro do nosso limite, estamos quase lá!

Agora temos 2 casos, primeiramente o caso :

Multiplicando tudo por , podemos manter os sinais da inequação:

Aplicando o limite:

Logo,

Se não mudaria muita coisa, pois o resultado final daria zero de qualquer jeito, mas em vez de multiplicar por multiplicaríamos todo mundo por , só isso.

Assim, voltando ao nosso limite inicial

Pelo teorema do anulamento, ele vale zero!

Agora vamos a segunda parte do limite que a gente tinha lá no passo 8:

Repare que se reescrevermos ele assim

Ficamos com

Então podemos dizer que

Logo, o limite do passo 8

E como esse limite veio do limitão da diferenciabilidade, isso significa que nossa função é diferenciável em .

AMÉM SENHOR, DEPOIS DE TANTO TRABALHO TAMBÉM........

Para , temos que

Que nada mais é que o produto de uma função polinomial com uma função trigonométrica, que são contínuas em seu domínio, que incluiu . Logo, nesse caso, também é contínua para .

Além disso, as derivadas parciais de em relação a e a existem e são contínuas para (pelo que vimos em ), o que é condição suficiente para que seja diferenciável.