Seja

f(x, y) = y^(-3/2) * e^(x^2 / (αy))

Onde y > 0 . O valor da constante alpha para que f satisfaça a equação

∂f / ∂y = -1 / x^2 * (∂f / ∂x) * x^2, x ≠ 0

É:

  1. α = 4
  2. α = -4
  3. α = 2
  4. α = -2
  5. Ineistente

Passo 1

Vamos derivar f em relação a y .

Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

∂ f ∂ y = - 3 2 y - 5 2 e x 2 α y + y - 3 2 e x 2 α y - x 2 α y 2

Arrumando um pouco melhor essa bagunça:

∂ f ∂ y = - 3 e x 2 α y 2 y 5 2 - x 2 α y 7 2 e x 2 α y

Colocando - e x 2 α y em evidencia:

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 2 y 5 2 + x 2 α y 7 2

Passo 2

Agora para comparar com a expressão de ∂ f ∂ y que a questão deu pra gente, vamos precisar fazer também a derivada parcial em relação a x .

Vamos lá, usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x = y - 3 2 e x 2 α y 2 x α y

Organizando melhor:

∂ f ∂ x = 2 x α y 5 2 e x 2 α y

Passo 3

Agora substituindo na expressão da questão:

∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x

∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 2 x α y 5 2 e x 2 α y

∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y

Passo 4

Agora vamos precisar derivar esses parênteses ai em relação a x .

Para isso, vamos usar a regra do produto e regra da cadeia:

∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = 6 x 2 α y 5 2 e x 2 α y + 2 x 3 α y 5 2 ∙ 2 x α y e x 2 α y

∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = 6 x 2 α y 5 2 e x 2 α y + 4 x 4 α y 7 2 e x 2 α y

Colocando x 2 e x 2 α y em evidencia:

∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = x 2 e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

Passo 5

Agora voltando lá na expressão da questão, temos:

∂ f ∂ y = - 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x

Substituindo o que achamos até aqui:

∂ f ∂ y = - 1 x 2 x 2 e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

∂ f ∂ y = - 2 e x 2 α y 3 α y 5 2 + 2 x 2 α y 7 2

Fazendo o mmc:

∂ f ∂ y = - 2 e x 2 α y 3 α y 7 2 - 5 2 + 2 x 2 α 2 y 7 2

∂ f ∂ y = - 2 e x 2 α y 3 α y + 2 x 2 α 2 y 7 2

Passo 6

Agora vamos comparar com o que achamos quando calculamos diretamente a derivada parcial de f em relação a y :

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 2 y 5 2 + x 2 α y 7 2

Fazendo o mmc:

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 α y 7 2 - 5 2 + x 2 2 α y 7 2

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 α y + x 2 2 α y 7 2

Comparando essa expressão com a expressão final do passo 6, temos que para elas serem iguais é preciso que

1 2 α = 2 α 2

Assim

α = 4

Resposta

L e t r a   a

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