Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica de Cálculo 2 da USP - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível

1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

a. O cilindro e a superfície .

1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

b. O paraboloide e o cilindro parabólico .

1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

c. O cone e o plano .

1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

d. O cilindro e o plano .

1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

a. ;

1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

b. ;

1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

c. ;

1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

d. ;

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

a.

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

b.

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

c.

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

d.

1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

e.

1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

a.

1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

b.

1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

c.

1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

d.

1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

e.

2.2. Ache os pontos do hiperboloide nos quais a reta normal é paralela à reta que une os pontos e .

2.4. Mostre que o elipsoide e a esfera se tangenciam no ponto (isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto).

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

a. .

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

b. .

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

c. .

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

d. .

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

e. .

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

f. .

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível da função :

g. .

2.3. Seja e considere o plano tangente à superfície num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência.

2.5. Ache a reta tangente à interseção do gráfico da função com o cilindro no ponto .

2.7. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície nos pontos e .

2.8. Suponha que sobre um certo aberto o potencial elétrico é dado por .

a. Ache a taxa de variação do potencial em na direção do vetor .

2.8. Suponha que sobre um certo aberto o potencial elétrico é dado por .

b. Qual a direção e sentido em que a taxa do potencial elétrico, em , é a maior possível? E a menor possível?

2.8. Suponha que sobre um certo aberto o potencial elétrico é dado por .

c. Qual o valor dessa taxa máxima?

Sejam curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:

;

Sejam curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:

;

Com isso obtenha uma expressão para as derivadas do produto misto e da norma:

e