Seja uma função diferenciável em tal que
Para todo .
Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função no ponto :
Passo 1
A direção e sentido de maior variação de uma função são dadas pela direção e sentido do vetor gradiente!
E para encontrar o vetor gradiente da nossa função no ponto vamos ter que usar a regrinha da cadeia, já que é uma função composta, onde
Pela regra da cadeia, temos:
Vamos ver os termos que a gente consegue calcular e substituir aí.
Passo 2
Sabemos que
Assim, pela regra do produto e da cadeia,
Além disso, sabemos também que
Então,
Outra coisa que sabemos é a definição de em função de :
O que significa que dá pra gente calcular diretamente a derivada .
Passo 3
Com isso, podemos substituir esses três termos que acabamos de achar na fórmula da regra da cadeia do passo 1 e o que sobra são justamente as derivadas parciais de em relação a e em relação a , que é nada mais nada menos que o vetor gradiente de que a gente quer descobrir
Passo 4
Mas precisamos nos atentar a um detalhe: queremos saber o . Com isso, precisamos descobrir qual o valor de quando e .
Para isso,
Resolvendo esse sistema, tiramos que
Passo 5
Substituindo em
Temos
Substituindo em
Temos
Formamos então um sistema:
Passo 6
Resolvendo esse sistema, podemos isolar somar as duas equações:
Substituindo esse resultado na primeira equação:
Assim,
E essa é a direção e o sentido de maior variação da função no ponto