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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x   ,   x ≠ 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e

Passo 1

Vamos derivar f em relação a y .

Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

∂ f ∂ y = - 3 2 y - 5 2 e x 2 α y + y - 3 2 e x 2 α y - x 2 α y 2

Arrumando um pouco melhor essa bagunça:

∂ f ∂ y = - 3 e x 2 α y 2 y 5 2 - x 2 α y 7 2 e x 2 α y

Colocando - e x 2 α y em evidencia:

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 2 y 5 2 + x 2 α y 7 2

Passo 2

Agora para comparar com a expressão de ∂ f ∂ y que a questão deu pra gente, vamos precisar fazer também a derivada parcial em relação a x .

Vamos lá, usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x = y - 3 2 e x 2 α y 2 x α y

Organizando melhor:

∂ f ∂ x = 2 x α y 5 2 e x 2 α y

Passo 3

Agora substituindo na expressão da questão:

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 2 x α y 5 2 e x 2 α y

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y

Passo 4

Agora vamos precisar derivar esses parênteses ai em relação a x .

Para isso, vamos usar a regra do produto e regra da cadeia:

∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = 6 x 2 α y 5 2 e x 2 α y + 2 x 3 α y 5 2 ∙ 2 x α y e x 2 α y

∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = 6 x 2 α y 5 2 e x 2 α y + 4 x 4 α y 7 2 e x 2 α y

Colocando x 2 e x 2 α y em evidencia:

∂ ∂ x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = x 2 e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

Passo 5

Agora voltando lá na expressão da questão, temos:

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 ∂ ∂ x x 2 ∂ f ∂ x

Substituindo o que achamos até aqui:

- 2 ∂ f ∂ y = 1 x 2 x 2 e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

- 2 ∂ f ∂ y = e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

- 2 ∂ f ∂ y = 2 e x 2 α y 3 α y 5 2 + 2 x 2 α y 7 2

Fazendo o mmc:

- 2 ∂ f ∂ y = 2 e x 2 α y 3 y 7 2 - 5 2 + 2 x 2 α y 7 2

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 y + 2 x 2 α y 7 2

Passo 6

Agora vamos comparar com o que achamos quando calculamos diretamente a derivada parcial de f em relação a y :

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 2 y 5 2 + x 2 α y 7 2

Fazendo o mmc:

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 α y 7 2 - 5 2 + 2 x 2 2 α y 7 2

∂ f ∂ y = - e x 2 α y 3 α y + 2 x 2 2 α y 7 2

Comparando essa expressão com a expressão final do passo 6, igualando as duas, temos que

- e x 2 α y 3 y + 2 x 2 α y 7 2 = = - e x 2 α y 3 α y + 2 x 2 2 α y 7 2

3 y + 2 x 2 α y 7 2 = 3 α y + 2 x 2 2 α y 7 2

Multiplicando por 2 dos dois lados

6 y + 4 x 2 α y 7 2 = 3 α y + 2 x 2 α y 7 2

E por fim cortanto os denominadores:

6 y + 4 x 2 = 3 α y + 2 x 2

Como não há um valor α que torne essa igualdade correta, α é inexistente.

Resposta

L e t r a   e

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