Considere as seguintes afirmações:
- Se é diferenciável em e tal que e existem, então para todo vetor unitário
- Existe uma função diferenciável em tal que o plano tangente ao gráfico de no ponto é
- Existe uma função de classe tal que e
- Seja é diferenciável em e considere os vetores unitários e . Então para todo .
- Se tem derivada direcional para todo vetor unitário , então é diferenciável em .
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
- Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
- Apenas as afirmações I e V são falsas.
- Apenas as afirmações III, IV e V são falsas.
Passo 1
Vamos analisar cada afirmativa.
“Se é diferenciável em e tal que e existem, então para todo vetor unitário ”
A gente calcula a derivada direcional através de um produto escalar, assim:
Como a gente sabe que as duas coordenadas do nosso vetor gradiente são negativas, se as duas coordenadas do vetor unitário forem negativas também, então o produto escalar será positivo (menos com menos dá mais), o que significa que essa afirmativa é falsa.
Passo 2
“Existe uma função diferenciável em tal que o plano tangente ao gráfico de no ponto é ”
É verdade que no ponto de tangencia, a função pode ser aproximada linearmente pelo plano tangente, certo? E aí a gente diz que nesse ponto, o gráfico da função e o plano tangente se confundem, ou seja, são a mesma coisa.
Então se a gente definir uma função
Podemos dizer que essa é a função diferenciável tal que o plano tangente ao gráfico de no ponto é .
Afirmativa verdadeira.
Passo 3
“Existe uma função de classe tal que e ”
Primeira coisa é: o que é uma função de classe ? É uma função que tem derivada parciais de segunda ordem contínuas.
E se ela tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, isso significa que as derivadas parciais mistas teriam ser iguais.
Mas se a gente for calcular a gente vai ver que
Então quer dizer...
Deu diferente né... E era pra dar igual.
Afirmativa falsa!
Passo 4
“Seja é diferenciável em e considere os vetores unitários e . Então para todo .”
Se você reparar, os vetores e formam uma base ortonormal, pois o produto escalar entre eles dois é nulo e o produto escalar deles entre si é um, já que afinal são vetores unitários.
Beleza. Além disso, se a gente escrever
Lá da álgebra linear, temos que
Logo, essa afirmativa é verdadeira.
Passo 5
“Se tem derivada direcional para todo vetor unitário , então é diferenciável em .”
Isso é falso né? Uma função não precisa ser diferenciável num ponto para ter derivada direcional nele.
É justamente para os casos em que a função não é diferenciável em algum ponto que existe a definição de derivada direcional:
Então quer dizer que mesmo funções que não são diferenciáveis em podem ter uma derivada direcional.
E isso acontece geralmente com funções definidas por partes, por exemplo, essa função aqui:
Ela não é diferenciável na origem, mas tem derivada direcional na origem, que pode ser calculada pela definição.