Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
Ver TeoriaEnunciado
Admita que
Represente uma distribuição de temperatura no plano . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto que se desloca, a partir do ponto , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.
Passo 1
Se a nossa partícula se desloca sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura, significa que ela sempre se desloca na direção e sentido do vetor gradiente de , ou seja, na direção e sentido do vetor
Isso significa que esse é o vetor tangente da trajetória da nossa partícula.
Passo 2
Se a gente imaginar que a trajetória é dada por
Então ela deve satisfazer
Porque o vetor tangente da curva tem que ser igual ao vetor gradiente de que a gente conversou ali em cima, certo?
Além disso, se a nossa partícula se desloca A PARTIR do ponto , então significa que quando , o ponto inicial da trajetória é esse, ou seja,
Passo 3
Então temos nosso problema definido, como uma edo, onde tanto a componente quanto a componente da nossa curva são funções tais que a derivada da função é igual a própria função vezes uma constante. E mesmo que a gente não lembre muito de edo, isso tem mó cheiro de função exponencial né haha até porque as opções já sugerem isso né.
E
São as nossas condições de contorno.
Então:
Como
Ou seja, nossa curva é: