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P3 de Cálculo 2 da USP - 2018

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Cálculo 2 - USP

Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( - 1,0 ) um ponto de sela de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Seja

C = x , y , z ∈ R 3   : x y z = 1     e     x 2 + y 2 = 1

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de C mais próximos da origem.

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Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f 1 2 , 1 2 2 = - 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em 1 2 , 1 2 2 , - 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z + 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f - 1 2 , - 1 2 2 = - 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z - 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Seja

C = x , y , z ∈ R 3   : x y z = 1     e     x 2 + y 2 = 4

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de C mais próximos da origem.

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A soma das coordenadas do ponto da superfície

z 2 - x y = 4

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

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Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( 1,0 ) um ponto de sela de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Um ponto no qual a curva dada pela intersecção das superfícies

x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 = 1

E

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Tem direção tangente paralela ao eixo O x é:

  1. ( 0,0 , 1 )
  2. ( - 1,0 , 0 )
  3. ( 1,0 , 0 )
  4. 2 2 , 0 , - 2 2
  5. Inexistente.

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Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( 1,0 ) um ponto de mínimo local de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( - 1,0 ) um ponto de máximo local de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

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Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f - 1 2 , - 1 2 2 = 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em - 1 2 , - 1 2 2 , 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z - 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f 1 2 , 1 2 2 = 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em 1 2 , 1 2 2 , 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z = 0
  3. - x - 2 y + 6 z + 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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A soma das coordenadas do ponto da superfície

z 2 - x y = 9

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

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Um ponto no qual a curva dada pela intersecção das superfícies

y 2 - 2 x y - 2 x + z 2 = 1

E

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Tem direção tangente paralela ao eixo O y é:

  1. ( 0,0 , - 1 )
  2. ( 0 , - 1 , 0 )
  3. ( 0,1 , 0 )
  4. 2 2 , 0 , - 2 2
  5. Inexistente.

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A soma das coordenadas do ponto da superfície

z 2 - x y = 16

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

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A soma das coordenadas do ponto da superfície

z 2 - x y = 1

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

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Considere o quadrado

R = x , y ∈ R 2   : 0 ≤ x ≤ 2     e   0 ≤ y ≤ 2

E a função

f x , y = x 3 3 - x y + y 3 3

Definida em R .

  1. Determine os valores máximo e mínimo de f na fronteira de R .
  2. Determine os valores máximo e mínimo de f em R .

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de f , então é extremante global de f .
  2. Considere as α t = ( t , 0 , t 2 ) e β t = 0 , t , - t 2 ,   t ∈ R . Se as imagens de α e β estão contidas no gráfico de f   : R 2 → R e ( 0,0 ) é um ponto crítico de f , então ( 0,0 ) é um ponto de sela de f .
  3. Se A é um subconjunto não vazio e limitado de R 2 e f   : A → R é contínua, então f é limitada em A .

Assinale a alternativa correta:

  1. Somente a afirmação I é verdadeira
  2. Somente a afirmação II é verdadeira
  3. Somente a afirmação III é verdadeira
  4. Somente as afirmações I e II são verdadeiras
  5. Somente as afirmações II e III são verdadeiras

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Considere o quadrado

R = x , y ∈ R 2   : 0 ≤ x ≤ 4     e   0 ≤ y ≤ 4

E a função

f x , y = x 3 3 - 2 x y + y 3 3

Definida em R .

  1. Determine os valores máximo e mínimo de f na fronteira de R .
  2. Determine os valores máximo e mínimo de f em R .

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2015P1 - 2018P2 - 2018P1 - 2019P3 - 2015P3 - 2016P3 - 2017Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano TangenteListas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e ContinuidadeListas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas