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Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

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Enunciado

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f - 1 2 , - 1 2 2 = - 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z - 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

Passo 1

Vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de f .

Primeiro jogando tudo pro lado esquerdo na equação da superfície e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 1

O gradiente de F é:

∇ F x , y , z = ( 2 x , 4 y , 6 z )

No ponto de tangencia:

∇ F - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 = 2 . - 1 2 , 4 . - 1 2 2 , 6 . - 1 6

∇ F - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 = - 1 , - 2 2 , - 6 6

Recionalizando as frações:

∇ F - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 = - 1 , - 2 , - 6

Passo 2

Assim, o plano tangente no ponto - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 fica:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F P 0 = 0

x + 1 2 , y + 1 2 2 , z + 1 6 ⋅ - 1 , - 2 , - 6 = 0

- x + 1 2 - 2 y + 1 2 2 - 6 z + 1 6 = 0

- x - 1 2 - 2 y - 1 2 - 6 z - 1 = 0

- x - 2 y - 6 z - 2 = 0

Passo 3

E agora, José? Não tem opção onde todos os sinais são negativos como faz?

Bom, vamos pensar, nosso vetor normal ao plano foi o vetor

∇ F = - 1 , - 2 , - 6

Mas qualquer vetor múltiplo desse também serve, porque multiplicar um vetor por um escalar só muda o módulo e não a direção e o que importar aqui pra gente é que ele seja normal ao plano. Então vamos tentar com o vetor

∇ F = 1 , 2 , 6

Ai a equação do plano fica:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F P 0 = 0

x + 1 2 , y + 1 2 2 , z + 1 6 ⋅ 1 , 2 , 6 = 0

x + 1 2 + 2 y + 1 2 2 + 6 z + 1 6 = 0

x + 1 2 + 2 y + 1 2 + 6 z + 1 = 0

x + 2 y + 6 z + 2 = 0

Agora deu certo né??

Então nossa resposta é letra d .

Resposta

l e t r a   d

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