Considere o quadrado

E a função

Definida em .

1. Determine os valores máximo e mínimo de na fronteira de .
2. Determine os valores máximo e mínimo de em .

Comecemos pelo lado . Lembrando a nossa função:

E o primeiro lado:

Substituindo o lado na função:

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a

Então temos o ponto crítico

E nesse ponto a função assume o valor

Que é seu valor mínimo

Pois quando e ela vale

Que é seu valor máximo.

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado :

Substituindo esse lado na função, teremos:

Desenvolvendo,

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a

(porque o )

Então temos o ponto

E nesse ponto a função vale:

E quando e ela vale

E em e ela vale

Assim, como

é o valor mínimo de no lado e é o valor máximo de em .

Vamos verificar para o terceiro lado :

Substituindo-o na função:

Repara que temos o mesmo caso que temos no lado , mas agora em função de .

Assim, a análise desse lado é igualzinha a do lado 1, portanto, o valor mínimo é

E o valor máximo ocorre no extremo, quando e ela vale

Ultimo lado agora!

Substituindo-o na função:

Desenvolvendo,

E, mais uma vez, temos um caso bastaaaaaaante parecido com o que tínhamos lá no passo 3 quando estávamos analisando o lado 2. Só que agora estamos em função de .

Dessa forma, a analise desse lado será igualzinho já fizemos e obteremos os mesmos pontos, só que com e trocados, assim, teremos:

E nesse ponto a função vale:

E quando e ela vale

E em e ela vale

Assim, como

é o valor mínimo de no lado e é o valor máximo de em .

Agora vamos determinar o máximo e mínimo de em , não só na fronteira.

Vamos precisar então considerar os pontos críticos de que estão no INTERIOR de .

Para isso, vamos calcular os pontos críticos né?

Calculando as derivadas parciais:

Igualando a zero:

Isolando o na primeira equação, temos que

Substituindo na segunda:

Ou

E, como

Portanto, temos dois pontos críticos:

MAAAAS, estamos interessaos apenas nos pontos críticos no interior de . E desses dois pontos aí, apenas o ponto está no INTERIOR do quadrado

Então só ele nos interessa, beleza?

Calculando o valor de no ponto :

Mas, não podemos esquecer também de toda a analise que já fizemos na letra . Pois aqui na letra queremos o máximo e mínimo na região inteira, isto é, interior e fronteira. Acontece que fronteira a gente já analisou e já sabe que o valor máximo é e o valor mínimo é .

Mas aí agora, analisando dentro de descobrimos que existe um valor mínimo menor do que o que a gente já tinha achado na fronteira.

Dessa forma, na região INTEIRA, o valor máximo de é e o valor mínimo de é .